安徽省黄山市2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 实数 $- 3$ 的相反数比 $- 1$ 大（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $\frac{2}{3}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $(a b)^{2} = a b^{2}$ B、 $2 a + 3 a = 5 a^{2}$ C、 $3 a \cdot 2 a = 6 a^{2}$ D、 $3 a + 2 b = 5 a b$

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3. $2021$ 年我国农产品加工工业收入超过 $232000$ 亿元，数值 $232000$ 亿用科学记数法表示正确的是（）

A、 $2.32 \times 1 0^{5}$ B、 $2.32 \times 1 0^{9}$ C、 $2.32 \times 1 0^{12}$ D、 $2.32 \times 1 0^{13}$

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4. 如图所示的几何体的俯视图是（）

A、
B、
C、
D、

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5. 不等式 $\frac{x - 2}{3} < \frac{x - 1}{2}$ 的解集是（）

A、 $x < - 1$ B、 $x > 2$ C、 $x > - 1$ D、 $x < 2$

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6. 如图，已知点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在 $⊙ O$ 上，弦 $A B$ 、 $C D$ 的延长线交 $⊙ O$ 外一点 $E$ ， $∠ B C D = 25 °$ ， $∠ E = 39 °$ ，则 $∠ A P C$ 的度数为（）

A、 $64 °$
B、 $89 °$
C、 $90 °$
D、 $94 °$

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7. 受疫情反弹的影响，某景区今年 $3$ 月份游客人数比 $2$ 月份下降了 $40 %$ ， $4$ 月份又比 $3$ 月份下降了 $50 %$ ，随着疫情逐步得到控制，预计 $5$ 月份游客人数将比 $2$ 月份翻一番 $($ 即是 $2$ 月份的 $2$ 倍 $)$ ，设 $5$ 月份与 $4$ 月份相比游客人数的增长率为 $x$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $(1 - 40 % - 50 %) (1 + x) = 2$ B、 $(1 - 40 % - 50 %) (1 + x)^{2} = 2$
C、 $(1 - 40 %) (1 - 50 %) (l + x)^{2} = 2$ D、 $(1 - 40 %) (1 - 50 %) (1 + x) = 2$

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8. 如图，已知 $A B ⊥ B C$ 、 $D C ⊥ B C$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，作 $O M ⊥ B C$ 于点 $M$ ，点 $E$ 是 $B D$ 的中点， $E F ⊥ B C$ 于点 $G$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $A B = 4$ ， $C D = 6$ ，则 $O M - E F$ 值为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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9. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a + c = b$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$ ，则下列结论错误的是（）

A、若 $b > c > 0$ ，则 $a > 0$ B、若 $c = 1$ ，则 $a (a - 1) = 1$ C、若 $b c = 1$ ，则 $a = 1$ D、若 $a^{2} - c^{2} = 2$ ，则 $a c = 2$

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10. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是菱形， $B C = 1$ ，且 $∠ B = 60 °$ ，作 $D E ⊥ D C$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $E .$ 现将 $△ C D E$ 沿 $C B$ 的方向平移，得到 $△ C_{1} D_{1} E_{1}$ ，设 $△ C_{1} D_{1} E_{1}$ ，与菱形 $A B C D$ 重合的部分 $($ 图中阴影部分 $)$ 面积为 $y$ ，平移距离为 $x$ ，则 $y$ 与 $x$ 的函数图象为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 因式分解： $2 x^{2} - 8 x y + 8 y^{2} =$ ．

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12. 如图， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 1 ， 3)$ 、 $B$ $(- 2 ， - 2)$ 、 $C (4 ， - 2)$ ，则 $△ A B C$ 外接圆上劣弧 $A B$ 的长度为 $. ($ 结果保留 $π)$

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13. 如图，点A，C为函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 图象上的两点，过A，C分别作 $A B ⊥ x$ 轴， $C D ⊥ x$ 轴，垂足分别为B，D，连接 $O A$ ， $A C$ ， $O C$ ，线段 $O C$ 交 $A B$ 于点E，且点E恰好为 $O C$ 的中点．当 $△ A E C$ 的面积为 $\frac{3}{4}$ 时，k的值为．

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14. 如图，点 $D$ 是等边三角形 $A B C$ 边 $B C$ 上一动点 $($ 与点 $B$ 、点 $C$ 不重合 $)$ ，连接 $A D .$ 把 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $60 °$ 到 $A E$ ，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ， $A B = 8 .$ 设 $B D = x$ ， $C F = y$ ．

(1)、请写出 $y$ 是 $x$ 的函数解析式，并写出自变量的取值范围：；

(2)、如图 $2$ ，点 $G$ 是 $A C$ 中点，连接 $G E$ ，则线段 $G E$ 的长度最小值是．

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三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 先化简、再求值： $\frac{a - 15}{a^{2} - 9} - \frac{2}{3 - a}$ ，其中 $a = 202 3^{0} + t a n 60 ° - 3 (c o s 30 °)^{- 2}$ ．

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16. 某项电力工程按千米记工作量为 $1150$ 千米．某工程队承担了此项工程的施工，在完成了 $100$ 千米工作量后，该工程队改进施工技术和方案，每小时比原来多完成 $20$ 千米工作量，结果共用了 $50$ 小时完成了此项工程的施工任务．试问：该工程队改进施工技术和方案后每小时工作量是多少千米？

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17. 如图，在由边长为 $1$ 的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 及 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；
      $(1)$ 若点 $A$ 、 $C$ 的坐标分别为 $(- 3 ， 0)$ 、 $(- 2 ， 3)$ ，请画出平面直角坐标系并指出点 $B$ 的坐标；
      $(2)$ 画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称再向上平移 $1$ 个单位后的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
      $(3)$ 以图中的点 $D$ 为位似中心，将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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18. 观察以下等式：第 $1$ 个等式： $\frac{2}{1} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ ；第 $2$ 个等式： $\frac{3}{2} - \frac{5}{6} = \frac{2}{3}$ ；第 $3$ 个等式： $\frac{4}{3} - \frac{7}{12} = \frac{3}{4}$ ；第 $4$ 个等式： $\frac{5}{4} - \frac{9}{20} = \frac{4}{5}$ ； $\dots \dots$ ；按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第 $6$ 个等式；

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个等式： $($ 用含 $n$ 的等式表示 $)$ ，并证明．

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19. 如图，某电信公司计划修建一条连接B、C两地的电缆．测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B处测得C地的仰角为60°，已知C地比A地高200m，求电缆BC的长．（结果可保留根号）

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20. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点 $O$ 在对角线 $A C$ 上，以 $O$ 为圆心， $O A$ 的长为半径的 $⊙ O$ 与 $A D$ 、 $A C$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ，且 $∠ A C B = ∠ D C E$ ．

(1)、请判断直线 $C E$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并证明你的结论；

(2)、当 $A B$ ： $A D =$ 时，直线 $C B$ 与 $⊙ O$ 相切 $($ 只需填出比值即可 $)$ ．

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21. 某中学七 $(4)$ 班一位学生针对七年级同学上学“出行方式”进行了一次调查．图 $(1)$ 和图 $(2)$ 是他根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：

(1)、补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数；

(2)、如果全年级共 $800$ 名同学，请估算全年级步行上学的学生人数；

(3)、若由 $3$ 名“乘车”的学生， $1$ 名“步行”的学生， $2$ 名“骑车”的学生组队参加一项活动，欲从中选出 $2$ 人担任组长 $($ 不分正副 $)$ ，列出所有可能的情况，并求出 $2$ 人都是“乘车”的学生的概率．

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22. 已知二次函数 $y = x^{2} + (m - 2) x + \frac{1}{4} (m - 4) (m - 2)$ ，其中 $m > 2$ ．

(1)、当该函数的图象经过原点 $O (0 ， 0)$ ，求此时函数图象的顶点 $A$ 的坐标；

(2)、求证：二次函数 $y = x^{2} + (m - 2) x + \frac{1}{4} (m - 4) (m - 2)$ 的顶点在第三象限；

(3)、如图，在 $(1)$ 的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线 $y = - 2 x - 4$ 上运动，平移后所得函数的图象与 $y$ 轴的负半轴的交点为 $B$ ，求 $△ A O B$ 面积的最大值．

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23. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $\frac{A C}{B C} = m$ ， $D$ 是边 $B C$ 上一点，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠得到 $△ A E D$ ，连接 $B E$ ．

(1)、特例发现
如图 $1$ ，当 $m = 1$ ， $A E$ 落在直线 $A C$ 上时．
$①$ 求证： $∠ D A C = ∠ E B C$ ；
$②$ 填空： $\frac{C D}{C E}$ 的值为；

(2)、类比探究
如图 $2$ ，当 $m \neq 1$ ， $A E$ 与边 $B C$ 相交时，在 $A D$ 上取一点 $G$ ，使 $∠ A C G = ∠ B C E$ ， $C G$ 交 $A E$ 于点 $H .$ 探究 $\frac{C G}{C E}$ 的值 $($ 用含 $m$ 的式子表示 $)$ ，并写出探究过程；

(3)、拓展运用
在 $(2)$ 的条件下，当 $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点时，若 $E B \cdot E H = 6$ ，求 $C G$ 的长．

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