贵州省铜仁市碧江区2023年中考模拟数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在 $- 1$ ， $- 2$ ， $0$ ， $\sqrt{9}$ 这四个数中，最小的数是（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $0$ D、 $\sqrt{9}$

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2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 据统计， $2023$ 年铜仁市中考学生人数约 $5.8$ 万左右，用科学记数法表示“ $5.8$ 万”正确的是（）

A、 $5.8 \times 1 0^{2}$ B、 $58 \times 1 0^{3}$ C、 $5.8 \times 1 0^{3}$ D、 $5.8 \times 1 0^{4}$

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4. 下列说法正确的是（）

A、随机抛掷硬币 $10$ 次，一定有 $5$ 次正面向上
B、一组数据 $8$ ， $9$ ， $10$ ， $11$ ， $11$ 的众数是 $10$
C、为了了解某电视节目的收视率，宜采用抽样调查
D、甲、乙两射击运动员分别射击 $10$ 次，他们成绩的方差分别为 $S_{甲}^{2} = 4$ ， $S_{乙}^{2} = 9$ ，在这过程中，乙发挥比甲更稳定

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5. 以方程组 ${\begin{array}{l} y = 2 x - 5 \\ y = - x + 1 \end{array}$ 的解为坐标的点 $(x ， y)$ 在平面直角坐标系中的位置是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，俯视图是直径为6的圆，则这个几何体的全面积是（）

A、 $24 π$ B、 $21 π$ C、 $15 π$ D、 $12 π$

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7. 一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（）

A、 $2 x < 0$ B、 $2 x \geq 4$ C、 $x - 4 < 2$ D、 $4 - x > 2$

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8. 将二次函数 $y = - (x - k)^{2} + k + 1$ 的图象向右平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位后，顶点在直线 $y = 2 x + 2$ 上，则 $k$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $- 1$

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9. 如图，在活动课上，老师画出边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ ，让同学们按以下步骤完成画图 $. (1)$ 画出 $A D$ 的中点 $E$ ，连接 $B E$ ； $(2)$ 以点 $E$ 为圆心， $E B$ 长为半径画弧，交 $D A$ 的延长线于点 $F$ ； $(3)$ 以 $A F$ 为边画正方形 $A F G H$ ，点 $H$ 在 $A B$ 边上 $.$ 在画出的图中有一条线段的长是方程 $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ 的一个根 $.$ 这条线段是（）

A、线段 $B H$ B、线段 $B E$ C、线段 $A E$ D、线段 $A H$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x > 0$ ）的图象经过A、B两点．连结 $A B$ 、 $O B$ ，过点A作 $A C ⊥ x$ 轴于点C，交 $O B$ 于点D．若 $\frac{O D}{B D} = \frac{1}{2}$ ， $S_{△ A B D} = 4$ ，则k的值为（）

A、2 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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11. 将边长为3的等边三角形 $A B C$ 和另一个边长为1的等边三角形 $D E F$ 如图放置（EF在 $A B$ 边上，且点E与点B重合）．第一次将 $△ D E F$ 以点F为中心旋转至 $△ E_{1} F D_{1}$ ，第二次将 $△ E_{1} F D_{1}$ 以点 $D_{1}$ 为中心旋转至 $△ F_{1} D_{1} E_{2}$ 的位置，第三次将 $△ F_{1} D_{1} E_{2}$ 以点 $E_{2}$ 为中心旋转至 $△ D_{2} E_{2} F_{2}$ 的位置，…，按照上述办法旋转，直到 $△ D E F$ 再次回到初始位置时停止，在此过程中 $△ D E F$ 的内心O点运动轨迹的长度是（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{8}{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$

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12. 已知， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $A D ⊥ B D$ ，垂足为 $D$ ， $E$ 为 $B C$ 中点，连结 $D E$ ， $D E = 1$ ，则 $A D$ 的值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$

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二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若式子 $\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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14. 三张材质、大小完全相同的卡片上依次写有成语“守株待兔”“水中捞月”和“瓮中捉鳖”，现放置于暗箱内，摇匀后随机抽取一张，不放回，然后抽取第二张，则两次抽到的成语均为确定事件的概率是．

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15. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是弦， $A E ⊥ C D$ 于点 $E$ ， $B F ⊥ C D$ 于点 $F .$ 若 $B F = E F = 2$ ， $C F = 1$ ，则 $A C$ 的长是．

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16. 如果一个三角形的两个内角 $α$ 与 $β$ 满足 $2 α + β = 90 °$ ，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形” $.$ 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $△ A B D$ 是“倍角互余三角形”，那么 $B D$ 的长等于．

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三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 若 $- 2 x^{2 m - 1}$ 与 $y^{n - 4}$ 与 $7 x^{1 - n} y^{m - 1}$ 的积与 $x^{7} y^{3}$ 是同类项，求 $m$ 、 $n$ 的值．

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18. 目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，重庆一中初三 $(1)$ 班数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度 $($ 态度分为： $A .$ 无所谓； $B .$ 基本赞成； $C .$ 赞成； $D .$ 反对 $)$ ，并将调查结果绘制成频数折线统计图 $1$ 和扇形统计图 $2 ($ 不完整 $) .$ 请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；

(2)、求出图 $2$ 中扇形 $C$ 所对的圆心角的度数，并将图 $1$ 补充完整；

(3)、根据抽样调查结果，请你估计我校 $4200$ 名中学生家长中有多少名家长持反对态度；

(4)、在此次调查活动中，初三 $(1)$ 班和初三 $(2)$ 班各有 $2$ 位家长对中学生带手机持反对态度，现从中选 $2$ 位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的 $2$ 人来自不同班级的概率．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D B = 90 °$ ， $A D = 12$ ， $D O = O B = 5$ ， $A C = 26$ ，

(1)、求证；四边形 $A B C D$ 为平行四边形；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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20. 如图，直线y=x+b与双曲线y= $\frac{k}{x}$ （k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．

(1)、求直线和双曲线的解析式；

(2)、点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．

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21. 如图，已知菱形 $A B C D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 上的点，连接 $D E$ ，将 $△ C D E$ 沿 $D E$ 翻折，点 $C$ 恰好落在 $A B$ 边上的 $F$ 点上，连接 $D F$ ，延长 $F E$ ，交 $D C$ 延长线于点 $G$ ．

(1)、求证： $△ D F G$ ∽ $△ F A D$ ；

(2)、若菱形 $A B C D$ 的边长为 $5$ ， $A F = 3$ ，求 $B E$ 的长．

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22. 在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度 $i = 3 ： 4$ ，即 $t a n θ = \frac{3}{4}$ ，请你帮助该小组计算建筑物的高度 $A B$ ．（结果精确到0.1m，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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23. 如图 $C D$ 是 $⊙ O$ 直径， $A$ 是 $⊙ O$ 上异于 $C$ ， $D$ 的一点，点 $B$ 是 $D C$ 延长线上一点，连 $A B$ 、 $A C$ 、 $A D$ ，且 $∠ B A C = ∠ A D B$ ．

(1)、求证：直线 $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 2 O C$ ，求 $t a n ∠ A D B$ 的值；

(3)、在 $(2)$ 的条件下，作 $∠ C A D$ 的平分线 $A P$ 交 $⊙ O$ 于 $P$ ，交 $C D$ 于 $E$ ，连接 $P C$ 、 $P D$ ，若 $A B = 2 \sqrt{6}$ ，求 $A E \cdot A P$ 的值．

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 2 ， 5)$ ，与 $x$ 轴相交于 $B (- 1 ， 0)$ ， $C (3 ， 0)$ 两点．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、点 $D$ 在抛物线的对称轴上，且位于 $x$ 轴的上方，将 $△ B C D$ 沿直线 $B D$ 翻折得到 $△ B C' D$ ，若点 $C'$ 恰好落在抛物线的对称轴上，求点 $C'$ 和点 $D$ 的坐标；

(3)、 $P$ 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，当 $△ C P Q$ 为等边三角形时，求直线 $B P$ 的函数表达式．

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25. 【问题提出】如图 $1$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为边 $A C$ ， $B C$ 的中点，将 $△ E F C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，连接 $A E$ ， $B F$ ，试探究 $A E$ ， $B F$ 之间存在怎样的数量关系和位置关系？

(1)、【特例探究】若 $A C = B C$ ，将 $△ E F C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转至图 $2$ 的位置，直线 $B F$ 与 $A E$ ， $A C$ 分别交于点 $M$ ， $N .$ 按以下思路完成填空 $($ 第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填位置关系 $)$ ：
$∵ A C = B C$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为边 $A C$ ， $B C$ 的中点，
$∴ C E = C F$ ．
$∵ ∠ A C B = ∠ E C F$ ，
$∴ ∠ A C E = ∠ B C F$ ．
$∴ △ A C E$ ≌ $△ B C F （） .$
$∴ A E$ ▲ $B F$ ， $∠ C A E = ∠ C B F$ ．
又 $∵ ∠ A N M = ∠ B N C$ ，
$∴ ∠ A M N = ∠ B C N = 90 °$ ．
$∴ A E$ ▲ $B M$ ．

(2)、【猜想证明】若 $B C = n A C (n > 1)$ ， $△ E F C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转至图 $3$ 的位置，直线 $A E$ 与 $B F$ ， $B C$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，猜想 $A E$ 与 $B F$ 之间的数量关系与位置关系，并就图 $3$ 所示的情况加以证明；

(3)、【拓展运用】若 $A C = 4$ ， $B C = 6$ ，将 $△ E F C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，直线 $A E$ 与 $B F$ 相交于点 $M$ ，当以点 $C$ ， $E$ ， $M$ ， $F$ 为顶点的四边形是矩形时，请直接写出 $B M$ 的长．

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