湖南省长沙市宁乡市2023年中考模拟数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在实数 $- 5$ ， $0$ ， $1$ ， $\sqrt{3}$ 中，为负数的是（）

A、 $- 5$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米.其中数据10909用科学记数法表示为（）

A、10.909×10² B、1.0909×10³ C、0.10909×10⁴ D、1.0909×10⁴

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3. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（）

A、 $① ② ③$ B、 $① ② ④$ C、 $① ③ ④$ D、 $② ③ ④$

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4. “青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动 $.$ 某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取 $7$ 位同学，经统计他们的学习时间 $($ 单位：分钟 $)$ 分别为： $75$ ， $80$ ， $82$ ， $80$ ， $80$ ， $85$ ， $88 .$ 则这组数据的众数为（）

A、 $75$ B、 $80$ C、 $82$ D、 $85$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{4} = 2 \sqrt{2}$ B、 $2 a + 3 a = 5$ C、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ D、 $202 3^{0} = 1$

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6. 八卦图是中国古老的科学文化遗产，是我国古代劳动人民智慧的结晶，古人认为，世间万物皆可分类归至八卦之中，相传，德国数学家莱布尼茨受八卦图的启发而发明了电子计算机使用的二进制．八卦图中的每一卦由三根线组成．如果从图中任选一卦，那么这一卦中恰有 $2$ 根“”和 $1$ 根“”的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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7. 把抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ 向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 5$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ C、 $y = {(x + 1)}^{2} + 3$ D、 $y = {(x - 3)}^{2} + 3$

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8. 如图，电线杆 $A B$ 的中点 $C$ 处有一标志物，在地面 $D$ 处测得标志物的仰角为 $30 °$ ，若 $D$ 到电线杆底部 $B$ 的距离为 $12$ 米，则电线杆 $A B$ 的长为（）

A、 $8$ 米
B、 $4 \sqrt{3}$ 米
C、 $8 \sqrt{3}$ 米
D、 $8 \sqrt{2}$ 米

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9. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} 4 x > k - 10 \\ x - 1 \leq 0 \end{array}$ 有且只有 $4$ 个整数解，则符合条件的所有整数 $k$ 的和为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $0$ D、 $2$

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10. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为圆上一点， $D$ 是弧 $A C$ 的中点， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E .$ 若 $E$ 是 $B D$ 的中点， $⊙ O$ 半径为 $3$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $4$
B、 $4 \sqrt{2}$
C、 $4 \sqrt{3}$
D、 $8$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 要使代数式 $\frac{2}{\sqrt{a - 5}}$ 有意义，则 $a$ 的取值范围为．

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12. 因式分解： $8 - 2 x^{2} =$ .

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13. 若关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + x - a^{2} + 1 = 0$ 有一个根为0，则a的值等于．

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14. 如图，用一个直径为 $12 c m$ 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了 $150 °$ ，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 $c m . ($ 结果保留 $π)$

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15. 若关于x的分式方程 $\frac{2 x - m}{x + 1}$ =3的解是负数，则字母m的取值范围是.

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16. 如图，已知 $F$ 是 $△ A B C$ 内的一点， $D F / / B C$ ， $E F / / A B$ ，若▱ $B D F E$ 的面积为 $4$ ，且 $B D = \frac{1}{3} A B$ ， $B E = \frac{1}{4} B C$ ，则 $△ A B C$ 的面积是．

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三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算： $\sqrt{9} + (\frac{1}{2})^{- 1} - | - 4 | - 2 s i n 30 °$ ．

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18. 先化简，再求值： $x (4 - x) + (x + 1) (x - 1) + 1$ ，其中 $x = - 1$ ．

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19. 如图：在矩形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 为 $B C$ 上两点，且 $B E = C F$ ，连结 $A F$ ，与 $D E$ 交于点 $O .$ 求证： $A F = D E$ ．

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20. 如图矩形 $O A B C$ 的顶点 $A$ 、 $C$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上，点 $B$ 的坐标为 $(2 ， 3)$ ，反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象经过 $B C$ 的中点 $D$ ，且与 $A B$ 交于点 $E$ ， $C$ ．

(1)、求反比例函数的表达式及点 $E$ 的坐标．

(2)、若点 $F$ 是 $O C$ 边上的一点，且 $△ B C F$ 为等腰三角形，求直线 $F B$ 的表达式．

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21. 依据双减政策要求

.

初中学生书面作业每天完成时间不超过

90

分钟，某中学为了解学生作业管理情况

.

随机调查了部分学生某天完成作业时长情况，根据调查结果，绘制成如下频数分布表和扇形统计图：请根据图表信息：解答下列问题：

组别	每天作业完成时间 $t$ 分钟	人数
$A$	$t < 30$	$12$
$B$	$30 \leq t < 60$	$a$
$C$	$60 \leq t < 90$	$40$
$D$	$90 \leq t < 120$	$b$

(1)、表中

a =

，

b =

，

m =

；

(2)、扇形统计图中

C

组所在扇形的圆心角是多少度？

(3)、若该校有

800

名学生，请估计书面作业平均完成时间低于

90

分钟的学生人数．

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22. 为了推 $A$ 动长沙旅游业跨越发展，某旅行社推出“湖南博物院 $+$ 岳麓书院 $+$ 橘子洲”一日游活动团队旅游收费标准：如果人数不超过 $20$ 人，人均费用为 $280$ 元；如果超过 $20$ 人，每增加 $1$ 人，人均费用降低 $8$ 元，但人均费用不得低于 $200$ 元．

(1)、当旅游人数为 $a$ 人时，人均费用为 $200$ 元，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若某团队其支付旅游费用 $5888$ 元，求该团队有多少人．

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ ，垂足为点 $P$ ，直线 $B F$ 与 $A D$ 延长线交于点 $F$ ，且 $∠ A F B = ∠ A B C$ ．

(1)、求证：直线 $B F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $t a n ∠ A D C = 2$ ， $O P = 3$ ，求线段 $B F$ 的长．

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24. 如图 $1$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ， $E$ 为边 $C D$ 上一动点 $($ 点 $E$ 与点 $C$ ， $D$ 不重合 $)$ ，连接 $A E$ 交对角线 $B D$ 于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $P F ⊥ A E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $P C$ ．

(1)、求证： $P A = P C$ ；

(2)、如图 $2$ ，过点 $F$ 作 $F O ⊥ B D$ 于 $Q$ ，在点 $E$ 的运动过程中， $P Q$ 的长度是否发生变化？若不变，求出 $P Q$ 的长；若变化，请说明变化规律．

(3)、证明：在点 $E$ 的运动过程中，总有 $A B + B F = \sqrt{2} B P$ 成立．

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4 (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和 $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图 $1$ ，点 $P$ 是线段 $B C$ 上的一个动点 $($ 不与点 $B$ ， $C$ 重合 $)$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $Q$ ，联结 $O Q$ ，当四边形 $O C P Q$ 恰好是平行四边形时，求点 $Q$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ，在 $(2)$ 的条件下， $D$ 是 $O C$ 的中点，过点 $Q$ 的直线与抛物线交于点 $E$ ，且 $∠ D Q E = 2 ∠ O D Q$ ，在直线 $Q E$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $△ B E F$ 与 $△ A D C$ 相似？若存在，求点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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