湖南省邵阳市隆回县2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列实数中小于 $0$ 的数是（）

A、 $0.1$ B、 $| - 2 |$ C、 $- \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 如图，直线 $a / / b$ ， $c$ 是截线， $∠ 1$ 的度数是（）

A、 $35 °$
B、 $45 °$
C、 $55 °$
D、 $125 °$

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3. 下列图形中一定是轴对称图形的是（）

A、梯形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、平行四边形

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4. 隆回县将大力实施“三高四新”战略，加快建设“三宜三融三区”现代化新隆回；到 $2026$ 年，全县地区生产总值将突破 $400$ 亿元， $400$ 亿用科学记数法可以表示为（）

A、 $0.4 \times 1 0^{11}$ B、 $4 \times 1 0^{11}$ C、 $40 \times 1 0^{9}$ D、 $4 \times 1 0^{10}$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{0} = 1$ B、 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2}$
C、 $x^{6} \div x^{2} = x^{4}$ D、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A = 55 °$ ， $∠ B = 35 °$ ，则这个三角形是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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7. 一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是（）

A、8，6 B、7，6 C、7，8 D、8，7

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8. 若 $m n = a b$ ，则下列比例式中不正确的是（）

A、 $\frac{a}{m} = \frac{n}{b}$ B、 $\frac{a}{n} = \frac{m}{b}$ C、 $\frac{m}{a} = \frac{n}{b}$ D、 $\frac{m}{a} = \frac{b}{n}$

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9. 下列说法正确的是（）

A、相等的圆心角所对的弧相等 B、直径所对的圆周角是直角
C、内错角相等 D、相等的角是对顶角

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10. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = a x - b$ 与反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 在同一坐标系内的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 分解因式： $a x^{2} - a y^{2} =$ ．

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12. 式子 $\sqrt{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是．

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13. 一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是．

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14. 已知菱形 $A B C D$ 的两条对角线长分别为 $A C = 5$ 和 $B D = 8$ ，那么菱形 $A B C D$ 的面积为．

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15. 如图，在 $⊙ O$ 中，圆心角 $∠ A O B = 60 °$ ，那么圆周角 $∠ C =$ ．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别在 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E / / B C$ ， $A D = 2$ ， $B D = 4$ ， $D E = 3$ ，则 $B C =$ ．

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17. 已知 $\sqrt{x + 1} + (y - 4)^{2} = 0$ ，那么 $x^{y} =$ ．

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18. 观察下列数据： $- 2 ， \frac{5}{2} ， - \frac{10}{3} ， \frac{17}{4} ， - \frac{26}{5}$ ， $\dots$ ，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 $25$ 个数据是．

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三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算： $(- \frac{1}{2})^{- 2} + | 2 - \sqrt{3} | + 4 c o s 30 ° - (\sqrt{5} - 1)^{0} + t a n 45 °$ ．

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20. 先化简 $\frac{a + 2}{a^{2} - 4} - \frac{2 a + 4}{a^{2} - 4 a + 4} \div \frac{a^{2} + 2 a}{a - 2}$ ，再在 $2$ 、 $- 2$ 、 $0$ 、 $- \sqrt{5}$ 中选择一个合适的 $a$ 的值代入求值．

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21. 如图，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 为 $⊙ O$ 的切线， $O C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $B D$ 的延长线交 $A C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $∠ 1 = ∠ C A D$ ；

(2)、若 $A E = E C = 2$ ，求 $C D$ 的长和 $⊙ O$ 的半径．

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22. 某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共 $800$ 件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵 $10$ 元，用 $420$ 元购买甲种物品的件数恰好与用 $360$ 元购买乙种物品的件数相同．

(1)、求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？

(2)、经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的 $3$ 倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这 $800$ 件物品，需筹集资金多少元？

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23. 某校为了解九年级男生“坐位体前屈”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试 $($ 满分 $15$ 分，成绩均记为整数分 $)$ ，并按测试成绩 $($ 单位：分 $)$ 分成四类： $A$ 类 $(12 \leq m \leq 15)$ ， $B$ 类 $(9 \leq m \leq 11)$ ， $C$ 类 $(6 \leq m \leq 8)$ ， $D$ 类 $(m \leq 5)$ 绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：

(1)、请求出本次一共抽取了多少学生，并补全条形统计图．

(2)、请求出 $C$ 类和 $D$ 类所占的百分比 $.$ 并求扇形统计图中 $C$ 类所对的圆心角的度数．

(3)、若该校九年级男生有 $600$ 名，估计该校九年级男生“坐位体前屈”项目成绩为 $D$ 类的有多少名？

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24. 如图，大海中某灯塔 $P$ 周围 $18$ 海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 $A$ 处观察灯塔 $P$ 在北偏东 $60 °$ 方向，该海轮向正东方向航行 $16$ 海里到达点 $B$ 处，这时观察灯塔 $P$ 恰好在北偏东 $45 °$ 方向 $.$ 如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由 $. ($ 参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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25. 已知正方形 $A B C D$ ， $P$ 为射线 $A B$ 上的一点，以 $B P$ 为边作正方形 $B P E F$ ，使点 $F$ 在线段 $C B$ 的延长线上，连接 $E A$ 、 $E C$ ．

(1)、如图 $1$ ，若点 $P$ 在线段 $A B$ 的延长线上，求证： $E A = E C$ ；

(2)、若点 $P$ 在线段 $A B$ 上．
$①$ 如图 $2$ ，连接 $A C$ ，当 $P$ 为 $A B$ 的中点时，判断 $△ A C E$ 的形状，并说明理由；
$②$ 如图 $3$ ，设 $A B = m$ ， $B P = n$ ，当 $E P$ 平分 $∠ A E C$ 时，求 $m$ ： $n$ 的值．

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26. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过两点 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (2 ， 2) .$ 过点 $B$ 作 $B C / / x$ 轴，交抛物线于点 $C$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ ．

(1)、求此抛物线对应的函数表达式及点 $C$ 的坐标；

(2)、若抛物线上存在点 $M$ ，使得 $△ B C M$ 的面积为 $\frac{7}{2}$ ，求出点 $M$ 的坐标；

(3)、连接 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 、 $A C$ ，在坐标平面内，求使得 $△ A O C$ 与 $△ O B N$ 相似 $($ 边 $O A$ 与边 $O B$ 对应 $)$ 的点 $N$ 的坐标．

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