湖南省岳阳市平江县2023年中考二模考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $- 2023$ 的绝对值是（）

A、 $- \frac{1}{2023}$ B、 $- 2023$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $2023$

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2. 下列运算结果正确的是（）

A、 $4 a - 3 a = 1$ B、 $(a^{3})^{2} = a^{6}$
C、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ D、 $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$

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3. 如图所示的立体图形的主视图是（）

A、
B、
C、
D、

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4. 将一副三角板如图放置，使点 $A$ 落在 $D E$ 上，若 $B C / / D E$ ，则 $∠ A F C$ 的度数为（）

A、 $105 °$
B、 $85 °$
C、 $75 °$
D、 $65 °$

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5. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 \leq 5 \\ 7 - 4 x < 3 \end{array}$ 的解集是（）

A、 $x \leq 3$ B、 $x < 1$ C、 $1 \leq x < 3$ D、 $1 < x \leq 3$

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6. 下列命题是真命题的是（）

A、同旁内角互补
B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C、五边形的内角和等于 $720 °$
D、三角形的外心是三角形三条角平分线的交点

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7. $《$ 九章算术 $》$ 中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四 $.$ 问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出 $8$ 钱，则多了 $3$ 钱；如果每人出 $7$ 钱，则少了 $4$ 钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（）

A、 $53$ B、 $56$ C、 $59$ D、 $62$

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8. 如图，已知直线 $y = x + 1$ 上的点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (2 ， 3)$ ，若抛物线 $y = a x^{2} - x + 2 (a$ 为常数， $a \neq 0)$ 与线段 $A B$ 有两个不同的公共点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 3$
B、 $a \leq - 3$ 或 $\frac{3}{4} \leq a < 1$
C、 $- 3 \leq a < 1$ 或 $a \geq 3$
D、 $\frac{3}{4} \leq a < 1$

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二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

9. 函数 $y = \frac{1}{x - 3}$ 的自变量x的取值范围是．

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10. 因式分解： $x^{2} - 6 x + 9$ =.

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11. 同种液体，压强随着深度增加而增大， $7$ 千米深处海水的压强为 $72100000 P a$ ，数据 $72100000$ 用科学记数法表示为．

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12. 从 $\sqrt{2}$ ， $0$ ， $π$ ， $\frac{1}{3}$ ， $6$ 这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ 和点 $N \cdot$ 作直线 $M N$ 交 $C B$ 于点 $D$ ，连接 $A D .$ 若 $A C = 5$ ， $B C = 8$ ，则 $△ A C D$ 的周长为．

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14. 设 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} + x - 2024 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} + 2 a + b =$ ．

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15. 观察下列各等式的规律：
第 $1$ 个等式： $(1 + \frac{1}{2})^{2} = (2 + \frac{1}{2})^{2} - (1 + 1)^{2}$ ；
第 $2$ 个等式： $(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \times 2^{2}})^{2} = (\frac{3}{2} + \frac{1}{2 \times 2^{2}})^{2} - (1 + \frac{1}{2})^{2}$ ；
第 $3$ 个等式： $(\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \times 3^{2}})^{2} = (\frac{4}{3} + \frac{1}{2 \times 3^{2}})^{2} - (1 + \frac{1}{3})^{2}$ ；
第 $4$ 个等式： $(\frac{1}{4} + \frac{1}{2 \times 4^{2}})^{2} = (\frac{5}{4} + \frac{1}{2 \times 4^{2}})^{2} - (1 + \frac{1}{4})^{2}$ ；
$\dots$
按照以上规律，写出你猜想的第 $n$ 个等式： $($ 用含 $n$ 的式子表示 $)$ ．

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16. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，且 $A B = 6$ ，点 $D$ ， $E$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $A E$ ， $E D$ ， $A D$ ，连接 $B D$ 并延长，交 $⊙ O$ 的切线于点 $C$ ．
$①$ 若 $∠ A E D = 40 °$ ，则弧 $A D$ 的长度为 $($ 结果保留 $π)$ ；
$②$ 若 $E$ 是弧 $B D$ 的中点， $A E$ 与 $B C$ 相交于点 $F$ ， $B F = 2$ ，则 $D F =$ ．

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三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算： $(\frac{1}{3})^{- 1} + | \sqrt{3} - 3 | - (π - 2023)^{0} + 3 t a n 30 °$ ．

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18. 已知：如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A D$ ， $B C$ 上， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ．
请从以下三个条件： $① A E = B F$ ； $② A B = E F$ ； $③ A B / / E F$ 中，选择一个合适的条件，使四边形 $A B F E$ 为菱形．

(1)、你添加的条件是 $($ 填序号 $)$ ；

(2)、添加了条件后，请证明四边形 $A B F E$ 为菱形．

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19. 如图，一次函数 $y = x - 2$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与交于点 $A (3 ， m) . B (- 1 ， n)$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $D$ ．

(1)、求该反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ B O D$ 的面积；

(3)、请结合函数图象，直接写出不等式 $x - 2 > \frac{k}{x}$ 的解集．

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20. 为了庆祝中国共产主义青年团成立

100

周年，我县决定开展“请党放心，强国有我”的主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛若干名选手的成绩

(

满分为

100

分，得分为正整数且无满分，最低为

75

分

)

分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．

分数段	频数	频率
$74.5 ～ 79.5$	$2$	$0.05$
$79.5 ～ 84.5$	$m$	$0.2$
$84.5 - 89.5$	$12$	$0.3$
$89.5 ～ 94.5$	$14$	$n$
$94.5 ～ 99.5$	$4$	$0.1$

(1)、表中

m =

，

n =

；

(2)、请在图中补全频数分布直方图；

(3)、甲同学的比赛成绩是所选拔参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在分数段内；

(4)、选拔赛中，成绩在

94.5

分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定

2

名选手参加全县决赛，请用列表法或画树状图的方法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

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21. 近几年来，平江坚定不移把创建全国文明城市作为重要工作目标之一 $.$ 在创文工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的浇灌方式 $.$ 改进后，现在每天的用水量比原来每天节省 $20 %$ ，这样 $120$ 吨水可多用 $6$ 天，求现在每天用水量是多少吨？

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22. 某校九年级数学兴趣小组想要测量某纪念碑的高度，如图所示，测得底座 $B C$ 高为 $1.6$ 米，在平地上的 $D$ 处测得纪念碑的底部 $C$ 的仰角为 $18 °$ ，距 $D$ 点 $2$ 米处有一个 $1.4$ 米的高台 $E F$ ，在高台上 $F$ 处测得纪念碑的顶端 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 均在同一平面内，

(1)、求 $D$ 点与 $B$ 点的距离 $B D$ 的长；

(2)、求该纪念碑的高度 $A C . ($ 结果精确到 $0.1$ 米，参考数据： $s i n 18 ° \approx 0.31$ ， $c o s 18 ° \approx 0.95$ ， $t a n 18 ° \approx 0.32$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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23. $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 均为等边三角形， $O$ 分别为 $B C$ 和 $E F$ 的中点，连接 $A O$ ， $A C = 8$ ， $D F = 6$ ．

(1)、【特例发现】如图 $1$ ，当点 $D$ ，点 $E$ 与点 $F$ 分别在 $A O$ ， $B C$ 上时，可以得出结论： $\frac{A D}{C F} =$ ；直线 $A D$ 与直线 $C F$ 的位置关系是．

(2)、【探究证明】如图 $2$ ，将图 $1$ 中的 $△ D E F$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，使点 $D$ 恰好落在线段 $A C$ 上，连接 $C F . (1)$ 中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(3)、【拓展运用】如图 $3$ ，将图 $1$ 中的 $△ D E F$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $α (19 ° < α < 60 °)$ ，连接 $A D$ ， $F C$ ，它们的延长线交于点 $H$ ，当 $D H = O F$ 时：
$①$ 连接 $O D$ ，判断四边形 $O F H D$ 的形状，并给予证明；
$②$ 直接写出 $c o s (60 ° - α)$ 的值．

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24. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与直线 $y = m x + n$ 交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $D (2 ， k)$ 两点．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、若在第一象限的抛物线上有一点 $E$ ，连接 $C E$ ， $B E$ ，求四边形 $B O C E$ 面积的最大值；

(3)、抛物线上是否存在一点 $P$ ，使得 $∠ A B P = ∠ B A D$ ？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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