湖南省株洲市茶陵县2023年中考模拟数学考试试卷（5月份）

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $- \frac{7}{8}$ 的相反数是（）

A、 $- \frac{8}{7}$ B、 $\frac{8}{7}$ C、 $- \frac{7}{8}$ D、 $\frac{7}{8}$

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2. 下列有理数的大小关系正确的是（）

A、 $- (- \frac{1}{3}) < - | - \frac{1}{4} |$ B、 $| + 6 | > | - 6 |$ C、 $- | - 3 | > 0$ D、 $- \frac{3}{2} < - 1.25$

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3. 实施青少年生涯规划教育，有助于加深青少年的自我认知，引导青少年设立人生目标，提高学习自主性，促进身心健康发展 $.$ 近日，宝安区某初中学校开展了“国际未来商业菁英生涯规划模拟挑战赛”的预选赛，甲、乙、丙、丁四位候选人进行了现场模拟和即兴演讲，他们的成绩如表：
候选人
甲
乙
丙
丁
现场模拟
          $9$
          $9$
          $7$
          $10$
即兴演讲
          $9$
          $7$
          $9$
          $8$
若规定现场模拟成绩与即兴演讲成绩依次按 $60 %$ 和 $40 %$ 的比例确定最终成绩，将以第一名的成绩胜出．（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4. 如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，那么这个不等式组可能是（）

A、 ${\begin{array}{l} x < 2 \\ x \geq 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x > - 2 \\ x \leq 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x \geq - 2 \\ x < 3 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x \leq - 2 \\ x \geq 3 \end{array}$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $a \cdot a^{2} = a^{2}$ B、 $2 a + 3 b = 5 a b$ C、 $a^{6} - a^{2} = a^{4}$ D、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$

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6. 已知点 $P (2 ， m)$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，则点 $P$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(2 ， 1)$

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7. $《$ 九章算术 $》$ 是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重 $1$ 斤 $($ 等于 $16$ 两 $)$ ，雀重燕轻 $.$ 互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量：各为多少？”若假设每只雀、燕的体重相同，设每只雀的重量为 $x$ 两，每只燕的重量为 $y$ 两，则列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 5 x + y = x + 6 y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 4 x + y = x + 5 y \end{array}$
C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 1 \\ 5 x + y = x + 6 y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 1 \\ 4 x + y = x + 5 y \end{array}$

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8. 如图，将 $△ A B C$ 的 $A B$ 边与刻度尺的边缘重合，点 $A$ ， $D$ ， $B$ 分别对应刻度尺上的整数刻度 $.$ 已知 $D E / / A C$ ， $E F / / A B$ ， $A C = 6$ ，下列结论不正确的是（）

A、 $A F = 4$ B、 $C F = 2.4$ C、 $D E = 3.6$ D、 $E F = 4$

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9. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $A C$ ， $B C$ ，过点 $O$ 作 $O D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $O D$ 的延长线于点 $E .$ 连接 $A D$ ，若 $C E = 4 \sqrt{5}$ ， $B C = 8$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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10. 对于实数 $a$ 、 $b$ ，定义一种运算“ $\otimes$ ”为： $a \otimes b = a^{2} + a b - 2$ ，有下列命题：
$①$ $1 \otimes 3 = 2$ ；
$②$ 方程 $x \otimes 1 = 0$ 的根为： $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ ；
$③$ 不等式组 ${\begin{array}{l} (- 2) \otimes x - 4 < 0 \\ 1 \otimes x - 3 < 0 \end{array}$ 的解集为： $- 1 < x < 4$ ；
$④$ 点 $(\frac{1}{2} ， \frac{5}{2})$ 在函数 $y = x \otimes (- 1)$ 的图象上．
其中正确的是（）

A、 $① ② ③ ④$ B、 $① ③$ C、 $① ② ③$ D、 $③ ④$

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二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11. 已知二次根式 $\sqrt{x + 2023}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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12. 分解因式 $- 9 - a^{2} + 6 a =$ ．

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13. 统计某天 $7$ ： $00 ～ 9$ ： $00$ 经过某高速公路某测速点的汽车速度，得到如右所示的频数分布直方图 $($ 每一组不含前一个边界值，含后一个边界值 $) .$ 若该路段汽车限速为 $120 k m / h ($ 含 $)$ ，则超速行驶的汽车占全部汽车的 $% .$

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14. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = 2$ ，且 $b + d + f \neq 0$ ，若 $a + c + e = 10$ ，则 $b + d + f =$ ．

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15. 如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA的值是．

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16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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17. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A$ ，将直线 $y = x$ 沿 $y$ 轴向上平移 $b$ 个单位长度，交 $x$ 轴于点 $C$ ，交反比例函数图象于点 $B$ ，若 $\frac{O A}{B C} = \frac{1}{2}$ ，则 $b$ 的值为．

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18. 如题 $3$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D = 2$ ， $B C = C D = 5$ ，点 $P$ 在 $B C$ 上运动，则 $P A + P D$ 取最小值时， $B P =$ ，此时 $△ A P D$ 边 $A P$ 上的高是．

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三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算： $\sqrt{16} + (\frac{1}{2})^{- 1} - 2 c o s 60 °$ ．

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20. 先化简： $(\frac{a + 1}{a - 2} - 1) \div \frac{a^{2} - 2 a}{a^{2} - 4 a + 4}$ ，然后从 $0$ ， $2$ ， $2023$ 中选择一个合适的数代入求值．

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $C E$ 垂直于 $A B$ 边的延长线于点 $E$ ， $C F$ 垂直于 $A D$ 边的延长线于点 $F$ ，且 $C E = C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、当 $A B$ ： $B E = 3$ ： $2$ ， $C E = 5$ 时，求 $∠ C A E$ 的正切值．

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22. 如图 $1$ 所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成 $.$ 如图 $2$ ， $A B$ 是灯杆， $C D$ 是灯管支架，灯管支架 $C D$ 与灯杆间的夹角 $∠ B D C = 60 ° .$ 综合实践小组的同学想知道灯管支架 $C D$ 的长度，他们在地面的点 $E$ 处测得灯管支架底部 $D$ 的仰角为 $60 °$ ，在点 $F$ 处测得灯管支架顶部 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，测得 $A E = 3 m$ ， $E F = 9 m (A ， E ， F$ 在同一条直线上 $) .$ 请解答下列问题：

(1)、求灯管支架底部距地面高度 $A D$ 的长 $($ 结果保留根号 $)$ ；

(2)、求灯管支架 $C D$ 的长度 $($ 结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73) .$

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23. 党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求 $.$ 某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来 $.$ 在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理 $($ 得分用 $x$ 表示 $)$ ： $A$ ： $50 \leq x < 60$ ， $B$ ： $60 \leq x < 70$ ， $C$ ： $70 \leq x < 80$ ， $D$ ： $80 \leq x < 90$ ， $E$ ： $90 \leq x \leq 100$ ，并绘制出如图的统计图 $1$ 和图 $2$ ．

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、图 $1$ 中 $A$ 组所在扇形的圆心角度数为 $°$ ，并将条形统计图补充完整．

(2)、若“ $90 \leq x \leq 100$ ”这一组的数据为： $90$ ， $96$ ， $92$ ， $95$ ， $93$ ， $96$ ， $96$ ， $95$ ， $97$ ， $100 .$ 求这组数据的众数和中位数．

(3)、若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按 $20 %$ ， $30 %$ ， $50 %$ 的比例确定最后得分，得分达到 $90$ 分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为 $86$ ， $89$ ， $93$ ，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由．

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，点 $O$ 在边 $A B$ 上，以 $O$ 为圆心的圆经过 $A$ ， $D$ 两点， $⊙ O$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $3$ ，当 $A C = \frac{8}{3} D E$ 时，求线段 $B E$ 的长．

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25. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 第一象限交于 $M (1 ， 6)$ 、 $N (6 ， m)$ 两点，点 $P$ 是 $x$ 轴负半轴上一动点，连接 $P M$ ， $P N$ ．

(1)、求一次函数的表达式；

(2)、若 $△ P M N$ 的面积为 $\frac{45}{2}$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、在 $(2)$ 的条件下，若点 $E$ 为直线 $P M$ 上一点，点 $F$ 为 $y$ 轴上一点，是否存在这样的点 $E$ 和点 $F$ ，使得四边形 $E F N M$ 是平行四边形？若存在，直接写出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = - x^{2} + (k - 1) x + k (k > 0)$ 交 $x$ 轴的负半轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴的正半轴于点 $B$ ，交 $y$ 轴的正半轴于点 $C$ ，且 $B (3 ， 0)$ ．

(1)、如图 $1$ ，求 $k$ 的值；

(2)、如图 $2$ ，点 $D$ 在第一象限的抛物线上，点 $E$ 在线段 $B C$ 上， $D E / / y$ 轴，若 $D E = \sqrt{2} B E$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、如图 $3$ ，在 $(2)$ 的条件下， $F$ 为抛物线顶点，点 $P$ 在第四象限的抛物线上， $F P$ 交直线 $D E$ 于点 $Q$ ，点 $G$ 与点 $D$ 关于 $y$ 轴对称，若 $G Q = D P$ ，求点 $P$ 的坐标．

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候选人	甲	乙	丙	丁
现场模拟	$9$	$9$	$7$	$10$
即兴演讲	$9$	$7$	$9$	$8$