湖南省岳阳市三县六区2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $- 7$ 的相反数是（）

A、 $- 7$ B、 $7$ C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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2. 下列运算一定正确的是（）

A、 $a + a = a^{2}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$
C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 $(2 a^{2})^{3} = 6 a^{6}$

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3. 据世界卫生组织2020年6月26日通报，全球新冠肺炎确诊人数达到941万人，将数据941万人，用科学记数法表示为（）

A、 $9.41 \times 10^{2}$ 人 B、 $9.41 \times 10^{5}$ 人 C、 $9.41 \times 10^{6}$ 人 D、 $0.941 \times 10^{7}$ 人

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4. 如图所示的几何体，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 从 $\sqrt{2}$ ， $c o s 45 °$ ， $π$ ， $0$ ， $\frac{1}{7}$ 五个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 按一定规律排列的一列数依次是 $\frac{2}{3}$ 、1、 $\frac{8}{7}$ 、 $\frac{11}{9}$ 、 $\frac{14}{11}$ 、 $\frac{17}{13}$ …按此规律，这列数中第100个数是（）

A、 $\frac{299}{199}$ B、 $\frac{299}{201}$ C、 $\frac{301}{201}$ D、 $\frac{303}{203}$

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7. 已知一次函数 $y_{1} = a x - 3 a$ ，二次函数 $y_{2} = x^{2} - (a^{2} - 2) x - 3 .$ 若 $x > 0$ 时， $y_{1} y_{2} \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq - 2$ 或 $a \geq 2$ B、 $- 2 \leq a \leq 2$ 且 $a \neq 0$
C、 $a = - 2$ D、 $a = 2$

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二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

8. 函数 $y = \frac{3}{x - 4}$ 中，自变量 $x$ 取值范围是．

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9. 分解因式： $m^{2} - 8 m + 16 =$ ．

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10. 为了中考“跳绳”项目能得到满分，小明练习了 $6$ 次跳绳，每次跳绳的个数如下 $($ 单位：个 $)$ ： $176$ ， $183$ ， $187$ ， $179$ ， $187$ ， $188 .$ 这 $6$ 次数据的中位数是．

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11. ${\begin{array}{l} 2 x \geq 6 \\ x + 7 > - 2 \end{array}$ 的解集是．

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12. 请阅读下列材料，解答问题：
克罗狄斯 $\cdot$ 托勒密 $($ 约 $90$ 年 $- 168$ 年 $)$ ，是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．
托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．
如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = 2$ ，则对角线 $B D$ 的长为．

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13. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A E$ 平分 $∠ B A C$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B F$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线 $l$ ．
$①$ 若 $⊙ O$ 的半径为 $3$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，则扇形 $O B C$ 的面积为．
$②$ 若 $D E = 4$ ， $D F = 3$ ，则 $A F =$ ．

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三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 计算 $(- \frac{1}{2})^{- 1} + \sqrt{3} t a n 30 ° + | 1 - \sqrt{2} | - \sqrt{8}$

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15. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是 $A B$ 边上一点 $($ 不与 $A$ ， $B$ 重合 $)$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ C P$ ，交 $A D$ 边于点 $Q$ ，且 $∠ Q P A = ∠ P C B$ ， $Q P = Q D$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、求证： $C D = C P$ ．

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16. 已知一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 相交于 $A$ 和 $B$ 两点，且 $A$ 点坐标为 $(1 ， 3)$ ， $B$ 点的横坐标为 $- 3$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、根据图象直接写出使得 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围．

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17. 国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于 $1$ 小时” $.$ 为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内一部分初中学生，分成四个小组 $. (t$ 表示时间，单位：小时 $) A$ 组： $t < 0.5$ ； $B$ 组： $0.5 \leq t < 1$ ； $C$ 组： $1 \leq x < 1.5$ ； $D$ 组： $t \geq 1.5 .$ 并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图 $.$ 请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次共抽取名学生，其中 $B$ 组有人， $D$ 组有人 $.$

(2)、请你补全图 $1$ 统计图．

(3)、本次调查数据的中位数落在组内．

(4)、若该市辖区内约有 $30000$ 名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的学生约有多少人．

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18. 如图，某大楼的顶部有一块广告牌 $C D$ ，小背在山坡的坡脚 $A$ 处测得广告牌底部的仰角为 $45 °$ ，沿坡面 $A B$ 向上走到 $B$ 处测得广告牌顶部 $C$ 的仰角为 $30 ° .$ 已知山坡 $A B$ 的坡度为 $i = 1 ： \sqrt{3}$ ， $A B = 20$ 米， $A E = 30$ 米．

(1)、求点 $B$ 距地面的高度 $B H$ ；

(2)、求广告牌 $C D$ 的高度 $. ($ 结果保留根号 $)$

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19. 有公共顶点 $A$ 的正方形 $A B C D$ 与正方形 $A E G F$ 按如图 $1$ 所示放置，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ 和 $A D$ 上，连接 $D E$ ， $B F$ ，点 $M$ 是 $B F$ 的中点，连接 $A M$ 交 $E D$ 于点 $N$ ．

(1)、 $【观察猜想】$ 线段 $D E$ 与 $A M$ 之间的数量关系是，位置关系是；

(2)、 $【探究证明】$ 将图 $1$ 中的正方形 $A E G F$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $4 5^{o}$ ，线段 $D E$ 与 $A M$ 之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由．

(3)、若正方形 $A B C D$ 的边长为 $m$ ，将其沿 $E F$ 翻折，点 $D$ 的对应点 $G$ 恰好落在 $B C$ 边上， $D G + D H$ 有最小值吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (5 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C . D$ 是抛物线对称轴上一点，纵坐标为 $- 5$ ， $P$ 是线段 $B C$ 上方抛物线上的一个动点，连接 $B P$ 、 $D P$ ．

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、当 $△ B D P$ 与 $△ B D C$ 的面积相等时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、将抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5 (a \neq 0)$ 向左平移 $3$ 个单位，再向下平移 $5$ 个单位 $.$ 新抛物线与 $x$ 轴交于 $E$ 、 $F$ 两点 $($ 点 $E$ 在点 $F$ 左侧 $)$ ，与 $y$ 轴交于点 $G$ ， $M$ 是新抛物线上一动点， $N$ 是坐标平面上一点，当以备用图点 $E$ 、 $G$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是矩形时，请写出所有满足条件的点 $M$ 的坐标．

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