北京市西城区2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 右图是某几何体的视图，则该几何体是（）

A、长方体
B、三棱柱
C、圆锥
D、正方体

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2. 我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖 $1040000000$ 人左右，将 $1040000000$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $1.04 \times 1 0^{10}$ B、 $1.04 \times 1 0^{9}$ C、 $10.4 \times 1 0^{9}$ D、 $0.104 \times 1 0^{11}$

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3. 方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 3 \\ 3 x - y = 5 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ y = \frac{5}{2} \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = \frac{5}{2} \\ y = \frac{1}{2} \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$

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4. 比 $\sqrt{3}$ 大且比 $\sqrt{14}$ 小的整数可以是（）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $5$ D、 $7$

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5. 如图，直线 $A B / / C D$ ，直线 $E F$ 分别交 $A B$ ， $C D$ 于点 $E$ ， $F$ ， $∠ B E F$ 的平分线交 $C D$ 点 $G$ ，若 $∠ B E F = 116 °$ ，则 $∠ E G C$ 的大小是（）

A、 $116 °$
B、 $74 °$
C、 $64 °$
D、 $58 °$

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6. 一个不透明的口袋中有 $3$ 个红球和 $1$ 个白球，这四个球除颜色外完全相同 $.$ 摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 实数 $a$ 在数轴上的位置如图所示，则 $a$ ， $- a$ ， $a^{2}$ ， $\frac{1}{a}$ 中最大的是（）

A、 $a$ B、 $- a$ C、 $a^{2}$ D、 $\frac{1}{a}$

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8. 下面的三个问题中都有两个变量：
$①$ 京沪铁路全程为 $1463 k m$ ，某次列车的平均速度 $y ($ 单位： $k m / h)$ 与此次列车的全程运行时间 $x ($ 单位： $h)$ ；
$②$ 已知北京市的总面积为 $1.68 \times 1 0^{4} k m^{2}$ ，人均占有面积 $y ($ 单位： $k m^{2} /$ 人 $)$ 与全市总人口 $x ($ 单位：人 $)$ ；
$③$ 某油箱容量是 $50 L$ 的汽车，加满汽油后开了 $200 k m$ 时，油箱中汽油大约消耗了 $\frac{1}{4} .$ 油箱中的剩油量 $y L$ 与加满汽油后汽车行驶的路程 $x k m$ ．
其中，变量 $y$ 与变量 $x$ 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）

A、 $① ②$ B、 $① ③$ C、 $② ③$ D、 $① ② ③$

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二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 若代数式 $\frac{1}{x - 2}$ 有意义，则实数x的取值范围是 .

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10. 已知反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x}$ 的图象位于第二、四象限，则 $k$ 的取值范围是．

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11. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(3 ， 4)$ ，设线段 $O A$ 与 $x$ 轴正方向的夹角为 $α$ ，则 $t a n α =$ ．

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12. 用一组 $a$ 、 $b$ 的值说明命题“若 $a^{2} = b^{2}$ ，则 $a = b$ ”是假命题，这组值可以是 $a =$ ， $b =$ ．

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13. 某射击队要从甲、乙、丙三名队员中选出一人代表射击队参加市里举行的射击比赛，如表是这三名队员在相同条件下 $10$ 次射击成绩的数据：

甲
乙
丙
平均数
          $8.5$
          $9$
          $8.8$
方差
          $0.25$
          $0.23$
          $0.27$
如果要选出一个成绩好且又稳定的队员去参加比赛，这名队员应是．

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14. 如图， $∠ A = 80 °$ ， $∠ B = 70 °$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2 =$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E / / B C$ ， $S_{△ A D E} = 4$ ， $S_{四边形 D B C E} = 5$ ，则 $\frac{D E}{B C}$ 的值是．

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16. 如表是某市本年度

G D P

前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“

↑

”表示上升，“

↓

”表示下降，“一”则表示名次没有变化

.

已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第

1

的区县是，上一年度排在第

6

，

7

，

8

名的区县依次是

. (

写出一种符合条件的排序

)

名次	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
区县	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	$G$	$H$	$I$	$J$
变化情况	$↑$	一	$↓$	一	$↑$	$↓$	$↑$	$↓$	$↓$	一

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三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算： $\sqrt{8} - 4 c o s 45 ° + (\frac{1}{3})^{- 1} - | - 2 |$ ．

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 1 > \frac{x - 1}{2} \\ 3 x - 1 \leq 5 \end{array}$ ，并写出它的所有正整数解．

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19. 已知：如图 $1$ ，线段 $a$ ， $b$ ．
求作：矩形 $A B C D$ ，使得 $A B = a$ ， $B C = b$ ．

作法：如图 $2$ ．
$①$ 在直线 $l$ 上截取 $A B = a$ ．
$②$ 过点 $B$ 作直线 $m ⊥ l$ ，在直线 $m$ 上截取 $B C = b$ ．
$③$ 分别以点 $A$ 和点 $C$ 为圆心， $b$ ， $a$ 的长为半径画弧，两弧的交点为 $D$ ．
$($ 点 $D$ 与点 $C$ 在直线 $l$ 的同侧 $)$
$④$ 连接 $A D$ ， $C D$ ．
则四边形 $A B C D$ 为所求的矩形．
根据上面设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，在图 $2$ 中补全图形 $($ 保留作图痕迹 $)$ ；

(2)、完成下面的证明：
证明： $∵ A D = B C = b$ ， $A B = D C = a$ ，
$∴$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形 $（） . ($ 填推理的依据 $)$
$∵$ 直线 $m ⊥ l$ ，
$∴ ∠ A B C =$ ▲ $°$ ，
$∴$ 四边形 $A B C D$ 是矩形 $（） ($ 填推理的依据 $)$ ．

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20. 已知 $a^{2} + a - 5 = 0$ ，求代数式 $(a - \frac{1}{a}) \div \frac{a - 1}{a^{2}}$ 的值．

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21. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 3 x + m + 1 = 0$ 有实数根，且 $m$ 为正整数，求 $m$ 的值及此时方程的根．

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22. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O ，过点D作 $A C$ 的平行线交 $B C$ 的延长线于点E ．

(1)、求证： $B D = D E$ ；

(2)、连接 $O E$ ，若 $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，求 $O E$ 的长．

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23. 为增强居民的反诈骗意识，

A

，

B

两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动

.

现从

A

，

B

小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取

20

个数据，分别对这

20

个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

a . A

小区参加有奖问答活动的

20

名居民成绩的数据的频数分布直方图如下

(

数据分成

5

组：

50 \leq x < 60

，

60 \leq x < 70

，

70 \leq x < 80

，

80 \leq x < 90

，

90 \leq x \leq 100)

；

b . A

小区参加有奖问答活动的

20

名居民成绩的数据在

80 \leq x < 90

这一组的是：

84 85 85 86 86 88 89

c . B

小区参加有奖问答活动的

20

名居民成绩的数据如表：

分数	$73$	$81$	$82$	$85$	$88$	$91$	$92$	$94$	$96$	$100$
人数	$1$	$3$	$2$	$3$	$1$	$3$	$1$	$4$	$1$	$1$

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、补全

a

中频数分布直方图；

(2)、A小区参加有奖问答活动的

20

名居民成绩的数据的中位数是；

B

小区参加有奖问答活动的

20

名居民成绩的数据的众数是；

(3)、为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于

90

分的居民颁发小奖品

.

已知

A

，

B

两个小区各有

2000

名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．

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24. 如图，以菱形 $A B C D$ 的边 $A D$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $D B$ 交 $⊙ O$ 于点 $M$ ， $F$ 是 $B C$ 上的一点，且 $B F = B E$ ，连接 $D F$ ．

(1)、求证： $D M = B M$ ；

(2)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象与一次函数 $y = 2 x$ 的图象交于点 $A (a ， 2)$ ．

(1)、求 $a$ ， $k$ 的值；

(2)、横、纵坐标都是整数的点叫做整点 $.$ 点 $P$ 是射线 $O A$ 上一点，过点 $P$ 分别作 $x$ 轴， $y$ 轴的垂线交函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $B$ ， $C .$ 将线段 $P B$ ， $P C$ 和函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象在点 $B$ ， $C$ 之间的部分所围成的区域 $($ 不含边界 $)$ 记为 $W$ ．
利用函数图象解决下列问题：
$①$ 若点 $P$ 的横坐标是 $2$ ，直接写出区域 $W$ 内整点个数；
$②$ 若区域 $W$ 内恰有 $5$ 个整点，直接写出点 $P$ 的横坐标 $x_{P}$ 的取值范围．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 都在抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 8 (a < 0)$ 上，且 $- 1 < x_{1} < 2$ ， $1 - m < x_{2} < m + 7$ ．

(1)、当 $m = - 2$ 时，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系，并说明理由；

(2)、若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $y_{1} = y_{2}$ ，求 $m$ 的取值范围．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到线段 $B D$ ，边 $A C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $180 ° - α$ 得到线段 $C E$ ，连接 $D E$ ，点 $F$ 是 $D E$ 的中点．

(1)、以点 $F$ 为对称中心，作点 $C$ 关于点 $F$ 的对称点 $G$ ，连接 $B G$ ， $D G$ ．
$①$ 依题意补全图形，并证明 $A C = D G$ ；
$②$ 求证： $∠ D G B = ∠ A C B$ ；

(2)、若 $α = 60 °$ ，且 $F H ⊥ B C$ 于 $H$ ，直接写出用等式表示的 $F H$ 与 $B C$ 的数量关系．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，给定圆 $C$ 和点 $P$ ，若过点 $P$ 最多可以作出 $k$ 条不同的直线，且这些直线被圆 $C$ 所截得的线段长度为正整数，则称点 $P$ 关于圆 $C$ 的特征值为 $k .$ 已知圆 $O$ 的半径为 $2$ ，

(1)、若点 $M$ 的坐标为 $(1 ， 1)$ ，则经过点 $M$ 的直线被圆 $O$ 截得的弦长的最小值为，点 $M$ 关于圆 $O$ 的特征值为；

(2)、直线 $y = x + b$ 分别与 $x$ ， $y$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，若线段 $A B$ 上总存在关于圆 $O$ 的特征值为 $4$ 的点，求 $b$ 的取值范围；

(3)、点 $T$ 是 $x$ 轴正半轴上一点，圆 $T$ 的半径为 $1$ ，点 $R$ ， $S$ 分别在圆 $O$ 与圆 $T$ 上，点 $R$ 关于圆 $T$ 的特征值记为 $r$ ，点 $S$ 关于圆 $O$ 的特征值记为 $s .$ 当点 $T$ 在 $x$ 轴正轴上运动时，若存在点 $R$ ， $S$ ，使得 $r + s = 3$ ，直接写出点 $T$ 的横坐标 $t$ 的取值范围．

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	甲	乙	丙
平均数	$8.5$	$9$	$8.8$
方差	$0.25$	$0.23$	$0.27$