天津市西青区2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算 $(- 2) + (- 7)$ 的结果为（）

A、 $9$ B、 $- 9$ C、 $5$ D、 $- 5$

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2. $s i n 45 °$ 的值等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 将 $696000000$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $6.96 \times 1 0^{8}$ B、 $6.96 \times 1 0^{7}$ C、 $69.6 \times 1 0^{7}$ D、 $696 \times 1 0^{6}$

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4. 如图所示的 $4$ 个图案中是轴对称图形的是（）

A、阿基米德螺旋线 B、笛卡尔心形线 C、赵爽弦图 D、太极图

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5. 如图是一个由 $6$ 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 估计 $\sqrt{47}$ 的值在（）

A、6和7之间 B、5和6之间 C、4和5之间 D、3和4之间

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7. 计算 $\frac{a}{b + 1} + \frac{2 a}{b + 1} - \frac{3 a}{b + 1}$ 的结果是（）

A、 $\frac{a}{b + 1}$ B、 $\frac{1}{b + 1}$ C、 $1$ D、 $0$

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8. 若点 $A (x_{1} ， 2)$ ， $B (x_{2} ， - 1)$ ， $C (x_{1} ， - 5)$ 都在反比例函数 $y = - \frac{5}{x}$ 的图象上，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$

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9. 方程 $(x + 6)^{2} - 9 = 0$ 的两个根是（）

A、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 9$ B、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 9$ C、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 9$ D、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = - 9$

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10. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， - 1)$ ，点 $C$ 在第四象限，且 $A B = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，则点 $C$ 的坐标是（）

A、 $(- 4 ， 1)$ B、 $(1 ， - 4)$ C、 $(- 1 ， 4)$ D、 $(4 ， - 1)$

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11. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转后得到 $△ A D E$ ，点 $B$ ， $C$ 的对应点分别为 $D$ ， $E$ ，点 $B$ 恰好在 $A E$ 边上，且点 $D$ 在 $C B$ 的延长线上，连接 $C E$ ，若 $∠ A B C = 110 °$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $D E = C E$ B、 $C E ⊥ D E$ C、旋转角是 $70 °$ D、 $D E / / A C$

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12. 已知抛物线 $y = a (x + 1)^{2} + k$ $(a ， k$ 是常数， $k > 1)$ 经过点 $(- 3 ， 0) .$ 下列结论：
$①$ 关于 $x$ 的方程 $a (x + 1)^{2} + k = 0$ 有两个不相等的实数根，即 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 1$ ；
$② a + k > 0$ ；
$③ a < - \frac{1}{4}$ ；
其中，正确的个数是（）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $1$ D、 $0$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 计算 $2 x \cdot 5 x^{2}$ 的结果等于．

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14. 计算 $(2 \sqrt{2} + 1) (2 \sqrt{2} - 1)$ 的结果等于．

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15. 不透明袋子中装有 $10$ 个球，其中有 $4$ 个红球、 $3$ 个绿球、 $3$ 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出 $1$ 个球，则它是红球的概率是．

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16. 若直线 $y = k x + 3$ 经过第一、二、四象限，则 $k$ 的值可以是．

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 在 $B C$ 边上，点 $F$ 在 $C D$ 的延长线上，满足 $B E = D F$ ，连接 $E F$ 与对角线 $B D$ 交于点 $G$ ，连接 $A F$ ， $A G$ ，若 $A F = \sqrt{10}$ ，则 $A G$ 的长为．

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18. 如图，在每个小正方形的边长为 $1$ 的网格中，四边形 $A B C D$ 的顶点 $B$ ， $C$ ， $D$ 均落在格点上，点 $A$ 是小正方形一边的中点，连接 $A C$ ．

(1)、线段 $A C$ 的长等于．

(2)、以线段 $A C$ 为直径作 $⊙ O$ ，试确定圆心 $O$ 的位置，并在线段 $C D$ 上找一点 $P$ ，满足 $P C = A C$ ，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $O$ 和点 $P$ ，并简要说明点 $O$ ，点 $P$ 的位置是如何找到的 $($ 不要求证明 $)$ ．

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三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (1 + \frac{1}{2} x) \leq 5 ， & ① \\ 3 x + 3 \geq x - 1 ， & ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答．
⑴ 解不等式 $①$ ，得     ▲  ；
⑵ 解不等式 $②$ ，得     ▲  ；
⑶把不等式 $①$ 和 $②$ 的解集在数轴上表示出来：

⑷ 原不等式组的解集为     ▲  ．

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20. 在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，调查统计了部分学生一周的课外阅读时长 $($ 单位：小时 $)$ ，整理数据后绘制出如图所示的统计图 $①$ 和图 $②$ ．
请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次接受调查的学生人数为，图 $①$ 中 $m$ 的值为；

(2)、求统计的这部分学生一周课外阅读时长的平均数、众数和中位数．

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21. 已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，点 $D$ 是 $⊙ O$ 外一点， $D C$ 是 $⊙ O$ 的切线， $C$ 为切点，连接 $D A$ ， $C B$ ．

(1)、如图 $①$ ，若 $D A$ 与 $⊙ O$ 相切， $A$ 为切点， $∠ A D C = 70 °$ ，求 $∠ A B C$ 的大小；

(2)、如图 $②$ ，若 $D A$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $E$ ，恰有 $A D ⊥ C D$ ，且 $C D = 4$ ， $A B = 10$ ，求 $E D$ 的长．

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22. 某校学生开展综合实践活动，测量某小区公园内路灯 $M N$ 的高度 $.$ 如图，已知观测点 $A$ ， $B$ 与路灯底端 $N$ 位于同一直线的水平线上，在点 $A$ 处测得路灯 $M N$ 顶端 $M$ 的仰角为 $33 °$ ，在点 $B$ 处测得路灯 $M N$ 顶端 $M$ 的仰角为 $58 °$ ，两个观测点 $A$ ， $B$ 相距 $3.8 m$ ，求路灯 $M N$ 的高度 $($ 结果精确到 $0.1)$ ．
参考数据： $t a n 33 ° \approx 0.65$ ， $t a n 58 ° \approx 1.60$

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23. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
小明和小亮相约到公园游玩 $.$ 已知小明家，小亮家到公园的距离相同，小明先骑车 $6 m i n$ 到达超市，购买了一些食物和饮用水，然后再骑车 $10 m i n$ 到达公园，小明出发 $10 m i n$ 后，小亮骑车从家出发直接到达公园，给出的图象中 $($ 单位： $m)$ 反映了这个过程中小明骑行的路程，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、填表：
小明离开家的时间 $/ m i n$
     $4$
          $6$
          $20$
          $31$
小明骑行的路程 $/ m$

          $1500$

(2)、填空：
$①$ 小明购物的超市到公园的距离是 $m$ ；
$②$ 小亮骑车的速度为 $m / m i n$ ；
$③$ 在小明和小亮从各自的家到公园的途中，当两人到公园的距离相同时，小明离开家的时间为 $m i n$ ；
$④$ 当小亮到达公园时，小明距公园还有 $m .$

(3)、当 $0 \leq x \leq 31$ 时，请直接写出 $y_{1}$ 关于 $x$ 的函数解析式．

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24. 将直角三角形纸片 $A O B$ 放置在平面直角坐标系中，点 $A$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 2)$ ， $∠ B A O = 30 °$ 点 $C$ 在边 $O B$ 上 $($ 点 $C$ 不与点 $O$ ， $B$ 重合 $)$ ，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 $C$ ，并与边 $A B$ 交于点 $D$ ，且 $∠ B C D = 60 °$ ，点 $B$ 的对应点为点 $E$ ，设 $O C = t$ ．

(1)、如图 $①$ ，当 $t = 1$ 时，求 $∠ O C E$ 的大小和点 $E$ 的坐标；

(2)、如图 $②$ ，若折叠后重合部分为四边形， $C E$ ， $D E$ 分别与 $O A$ 交于点 $F$ ， $G$ ，试用含有 $t$ 的式子表示 $F E$ 的长，并直接写出 $t$ 的取值范围；

(3)、请直接写出折叠后重合部分面积的最大值．

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} - a x + c (a ， c$ 为常数， $a \neq 0)$ 过点 $Q (1 ， 1)$ . ，顶点为点 $P$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求此抛物线顶点 $P$ 的坐标；

(2)、当 $a < 0$ 时，若 $△ O P Q$ 的面积为 $\frac{3}{4}$ ，求此抛物线的解析式；

(3)、将抛物线 $y = a x^{2} - a x + c$ 向左平移 $1$ 个单位，向下平移 $(a + 1)$ 个单位 $(a > 0)$ ，得到新抛物线的顶点为 $A$ ，与 $y$ 轴交点为 $B$ ，点 $M$ 在直线 $x = \frac{1}{2}$ 上，点 $N$ 在直线 $y = - 3$ 上，当四边形 $A B M N$ 的周长最小时，恰好有 $M N / / A B$ ，求平移后抛物线的解析式．

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小明离开家的时间 $/ m i n$	$4$	$6$	$20$	$31$
小明骑行的路程 $/ m$		$1500$