安徽省池州市名校2023-2024年九年级上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）

1. 若 $\sqrt{- a}$ 有意义，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 0$ B、 $a \leq 0$ C、 $a > 0$ D、 $a < 0$

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2. 若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形的边数是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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3. 用配方法将方程 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ 化成 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，则 $b$ 的值是（）

A、1 B、-1 C、4 D、-4

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4. 下列计算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{6} = 3$ B、 $4 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 4$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 4$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边分别是a ， b ， c.下列条件中，不能判定 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 2 ： 3 ： 4$ B、 $∠ A + ∠ B = 90 °$ C、 $a ： b ： c = 3 ： 4 ： 5$ D、 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$

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6. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + k x + k - 1 = 0$ 的根的情况，下列说法中正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个实数根 C、有两个相等的实数根 D、无实数根

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7. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，对角线AC ， BD相交于点O ， E为OD的中点，连接AE ，则 $△ A E D$ 的面积为（）

A、6 B、8 C、12 D、24

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8. “多读书，读好书”是提升学生阅读能力的重要举措，某校倡议学生在家多读一些教育部推荐的中外名著，王老师为了解学生每周在家阅读中外名著的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据：

时间（小时）	6	5	4	3	2
人数（人）	2	6	4	6	2

关于每周在家阅读中外名著的时间的描述，正确的是（）

A、众数是6 B、平均数是4 C、中位数是3 D、方差是1

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9. 如图，在平面直角坐标系中，点A ， M的坐标分别为 $(- 1 ， 0)$ ， $(- 2 ， 3)$ ，以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N ，则点N的坐标为（）

A、 $(- 3 ， 0)$ B、 $(- 4 ， 0)$ C、 $(- \sqrt{10} - 1 ， 0)$ D、 $(- \sqrt{10} + 1 ， 0)$

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10. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E ， F分别是边BC ， CD上的动点，且 $B E = C F$ ，连接BF ， DE ，则 $B F + D E$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两根之和为.

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12. 如图，在平行四边形ABCD中， $A D = 8$ ， E为AD上一动点，M ， N分别为BE ， CE的中点，则MN的长为.

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13. 如图，点E ， F分别在AB ， CD上， $A F ⊥ C E$ ，垂足为O ， $∠ B F D = ∠ C$ .若 $A F = 4$ ， $B F = 3$ ，则点F到直线AB的距离为.

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14. 已知三个均不为0且互不相等的实数m ， n ， p ，满足 $\frac{p}{m} = m + 6$ ， $\frac{p}{n} = n + 6$ .请解决下列问题：

(1)、当 $p = 2$ 时， $m + n =$ ；

(2)、当 $p > 0$ 时， $\frac{m^{2} + n^{2} - 36}{p} =$ .

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 计算： $(1 - \sqrt{2})^{2} - (3 - \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})$ ．

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16. 已知代数式 $M = (\frac{a^{2}}{a - 2} - \frac{2 a}{a - 2}) + (a - 3) (2 a + 1)$ .

(1)、化简M；

(2)、若a是方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的根，求M的值.

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，已知 $∠ A = 90 °$ ， D是斜边BC的中点， $D E ⊥ B C$ 交AB于点E ，连接CE.

(1)、求证： $B E^{2} - A E^{2} = A C^{2}$ ；

(2)、若 $A C = 6$ ， $B D = 5$ ，求 $△ A C E$ 的周长.

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18. 观察下列等式：
第1个等式： $\sqrt{1 \times 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ ；
第2个等式： $\sqrt{2 \times 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ ；
第3个等式： $\sqrt{3 \times 5 + 1} = \sqrt{16} = 4$ ；
…

(1)、请你根据上述规律写出第5个等式：；

(2)、请你猜想第 $n$ 个等式，并说明理由.（用含字母 $n$ 的式子表示， $n$ 为正整数）

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 如图，在四边形ABCD中， $B C = C D = 2 A B$ ， BD是 $∠ A B C$ 的平分线，E为边BC的中点，F为对角线BD的中点，连接AF ， EF.

(1)、求证：四边形ABEF为菱形；

(2)、连接AE交BD于点G ，若 $A E = 6$ ， $A B = 5$ ，求四边形ABEF的面积.

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20. 把形如 $a x^{2} + b x + c$ 的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}$ ，例如： $x^{2} - 2 x + 4 = {(x - 1)}^{2} + 3$ 的形式.
我们规定：一个整数能表示成 $m^{2} + n^{2}$ （m ， n是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”.例如，25是“和谐数”，理由：因为 $25 = 3^{2} + 4^{2}$ ，所以25是“和谐数”。
解决问题：

(1)、下列各数中，是“和谐数”的是；（填序号）
①20 ②23 ③38 ④52

(2)、若 $x^{2} - 6 x + 13 = {(x - a)}^{2} + b^{2}$ （a ， b为常数），求ab的值；拓展应用：

(3)、已知实数m ， n满足 $- m^{2} + 5 m + n - 12 = 0$ ，求 $m + n$ 的最小值.

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六、（本题满分12分）

21. 2023年4月24日中国航天日主场活动暨中国航天大会在合肥市开幕，今年中国航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”.某学校为了解八年级学生对航空航天知识的了解情况，组织了一次知识竞赛活动，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用 $x$ 表示，共分成四组：A. $80 \leq x < 85$ ， B. $85 \leq x < 90$ ， C. $90 \leq x < 95$ ， D. $95 \leq x \leq 100$ ）
八年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，84.
八年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92.
通过数据分析，列表如下：
八年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表

班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（1）班
92
          $b$
          $c$
43.4
八年级（2）班
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、学校欲选派成绩比较稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级?请说明理由；

(3)、已知八年级两个班共120人参加了此次竞赛活动，估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀 $(x \geq 90)$ 的学生总人数是多少?

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七、（本题满分12分）

22. 近年来振兴乡村经济，助农直播带货发展迅猛.一种农副产品每盒进价为80元，当销售价为120元时，每天可售出20盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒农副产品降价1元，那么每天可多售出2盒.设每盒农副产品降价 $x$ 元.

(1)、每天销售量增加盒，每盒农副产品盈利元（用含 $x$ 的代数式表示）；

(2)、在让利于顾客的情况下，每盒农副产品降价多少元时，商家每天能盈利1200元?

(3)、商家能达到每天盈利1500元的目标吗?请说明你的理由，

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八、（本题满分14分）

23. 如图，在平行四边形ABCD中， $∠ A C B = 45 °$ ， $A E ⊥ B C$ 于点E ，过点C作 $C F ⊥ A B$ 于点F ，交AE于点M ，点N在边BC上，且 $A M = C N$ ，连接DN ，延长AD到点G ，使 $D G = N C$ ，连接CG.

(1)、求证： $A B = C M$ ；

(2)、试判断 $△ A C G$ 的形状，并说明理由.

(3)、若 $A D = 3 \sqrt{2}$ ， $A M = \sqrt{2}$ ，求DN的长.

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班级	平均数	中位数	众数	方差
八年级（1）班	92	$b$	$c$	43.4
八年级（2）班	92	93	100	50.4