【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第12题

试卷更新日期：2023-10-09 类型：二轮复习

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一、原题（多选题）

1. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ .考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码：三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)

A、采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 $(1 - α) (1 - β)^{2}$ B、采用三次传输方案，若发送1，则依次收到 1，0，1的概率为 $β (1 - β)^{2}$ C、采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 $β (1 - β)^{2} (1 - β)^{3}$ D、当 $0 < α < 0.5$ 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

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二、基础

2. 下列说法正确的是（）

A、用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B、已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数等于中位数 C、数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21 D、若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差为变小

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3. 下列说法正确的有（）

A、已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B、已知一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{10}$ 的方差为2，则 $x_{1} + 2$ ， $x_{2} + 2$ ， $x_{3} + 2$ ， …， $x_{10} + 2$ 的方差为2 C、具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.2 x - m$ ，若样本点的中心为 $(m ， 3.2)$ ，则 $m = 4$ D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ， $P (X \leq 3) = 0.64$ ，则 $P (1 \leq X \leq 2) = 0.14$

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4. （多选）甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球、2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件 $B$ 表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（）

A、事件 $B$ 与事件 $A_{1}$ 不相互独立 B、 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 是两两互斥的事件 C、 $P (B) = \frac{3}{5}$ D、 $P (B | A_{1}) = \frac{7}{11}$

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5. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170 $c m$ ，方差为17 $c m^{2}$ ；女生身高样本均值为160 $c m$ ，方差为30 $c m^{2}$ .下列说法中正确的是（）

A、男生样本容量为30 B、每个女生被抽入到样本的概率均为 $\frac{2}{5}$ C、所有样本的均值为166 $c m$ D、所有样本的方差为46.2 $c m^{2}$

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6. 下列说法正确的是（）

A、用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体 $m$ 被抽到的概率是0.1； B、已知一组数据1， 2， $m$ ， 6， 7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C、数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D、若样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{10}$ 的标准差为8，则数据 $2 x_{1} - 1 ， 2 x_{2} - 1 ， \dots ， 2 x_{10} - 1$ 的标准差为16.

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7. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（）

A、事件B与事件C互斥 B、 $P (A) = \frac{3}{4}$ C、事件A与事件B独立 D、记C的对立事件为 $\bar{C}$ ，则 $P (B | \bar{C}) = \frac{3}{7}$

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8. 一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（）

A、从中任取3球，恰有一个白球的概率是 $\frac{3}{5}$ B、从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为 $\frac{80}{243}$ C、从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为 $\frac{2}{5}$ D、从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 $\frac{26}{27}$

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9. 给出下列命题，其中正确命题是（）

A、若样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ （数据各不相同）的平均数为2，则样本数据 $2 x_{1} - 3$ ， $2 x_{2} - 3$ ，…， $2 x_{n} - 3$ 的平均数为3 B、随机变量 $X$ 的方差为 $D (X) = 1$ ，则 $D (2 X + 1) = 4$ C、随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ， $P (X > 1) = 0.72$ ，则 $P (2 \leq X \leq 3) = 0.22$ D、将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，用 $X$ 表示出现正面向上的次数，则 $P (X = 1) = 0.5$

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10. 有一种鱼的身体吸收汞，汞的含量超过体重的 $1.00 ppm$ (即百万分之一)时就会对人体产生危害在一批鱼中随机抽取30条鱼作为样本，得到鱼体内汞含量的频率分布直方图如下图所示，则下列说法正确的是（）

A、若以该样本数据的频率作为总体的概率，则从这批鱼中任取一条，鱼体内汞含量高于 $1.5 ppm$ 的概率为 $\frac{1}{6}$ B、图中实数a的值为 $\frac{3}{15}$ C、估计该样本数据的中位数为1.25 D、从该样本中鱼体内汞含量高于 $1.5 ppm$ 的鱼中随机抽取两条鱼，这两条鱼体内汞含量都低于 $2.0 ppm$ 的概率为 $\frac{3}{5}$

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11. 已知事件A，B满足 $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.6$ ，则（）

A、若 $A ⊆ B$ ，则 $P (A B) = 0.18$ B、若A与B互斥，则 $P (A + B) = 0.9$ C、若 $P (A | B) = 0.1$ ，则A与B相互独立 D、若A与B相互独立，则 $P (A \bar{B}) = 0.12$

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12. 已知一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n} (x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n})$ ，现有一组新的数据 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $\frac{x_{2} + x_{3}}{2} ， \dots ， \frac{x_{n - 1} + x_{n}}{2} ， \frac{x_{n} + x_{1}}{2}$ ，则与原样本数据相比，新的样本数据（）

A、平均数不变 B、中位数不变 C、极差变小 D、方差变小

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13. 下列命题中正确的是（）

A、若样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $⋯$ ， $x_{20}$ 的样本方差为3，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $⋯$ ， $2 x_{20} + 1$ 的方差为7 B、经验回归方程为 $\hat{y} = 0.3 - 0.7 x$ 时，变量x和y负相关 C、对于随机事件A与B， $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，若 $P (A | B) = P (A)$ ，则事件A与B相互独立 D、若 $X \sim B (7 ， \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = k)$ 取最大值时 $k = 4$

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三、提升

14. 某商场同时销售编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯，一年中销售这三家公司该产品的数量之比为 $3 ： 4 ： 2$ ．为更好地做好今后的销售工作，该商场对这一年中购买紫外线消毒灯的顾客进行了电话调查，统计得到购买编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯的顾客满意度分别为93%，90%，90%．现从这些顾客中随机抽取一名顾客进行详细回访，记 $A_{i} =$ “顾客购买编号为i的公司生产的紫外线消毒灯” $(i = 1 ， 2 ， 3)$ ， $B =$ “顾客对紫外线消毒灯满意”，则（）

A、 $P (A_{2}) < P (B | A_{2})$ B、 $P (B) = 91 %$ C、 $P (A_{1} | B) = \frac{31}{90}$ D、 $P (B | A_{3}) = 90 %$

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15. 已知随机变量 $X ∼ N (0 ， 1^{2})$ ，随机变量 $Y ∼ N (1 ， 2^{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (X \leq - 1) = P (X \geq 1)$ B、 $P (Y \leq - 1) = P (Y \geq 3)$ C、 $P (1 \leq X \leq 3) < P (1 \leq Y \leq 3)$ D、 $P (| X | \geq 2) > P (| Y | \geq 3)$

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16. 给出下列命题，其中正确的命题有（）

A、“ $α = β$ ”是“ $s i n α = s i n β$ ”的必要不充分条件 B、已知命题 $P$ ：“ $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} < x_{0} + 1$ ”，则 $\neg P$ ：“ $\forall x \in R$ ， $e^{x} \geq x + 1$ ” C、若随机变量 $ξ ∼ B (2 ， \frac{1}{3})$ ，则 $E (ξ) = \frac{2}{3}$ D、已知随机变量 $X ∼ N (3 ， σ^{2})$ ，且 $P (X > 2 a - 1) = P (X < a + 3)$ ，则 $a = \frac{4}{3}$

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17. 为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为 $k + 1$ 次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为 $p (0 < p < 1)$ ，若 $k = 10$ ，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据： $l g 0.794 \approx - 0.1$ ）（）

A、0.4 B、0.3 C、0.2 D、0.1

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18. 下列命题中，正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = 0.2$ ，则 $P (X < 2) = 0.8$ B、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{a}{i (i + 1)} (i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， 100)$ ，则 $a = \frac{99}{100}$ C、用 $X$ 表示 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的次数， $p$ 为每次试验中事件 $A$ 发生的概率，若 $E (X) = 50 ， D (X) = 30$ ，则 $p = \frac{2}{5}$ D、已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员 $A$ 患甲病的概率为 $\frac{4}{15}$ ，患乙病的概率为 $\frac{2}{15}$ ，甲乙两种病都不患的概率为 $\frac{7}{10}$ .则家系成员 $A$ 在患甲病的条件下，患乙病的概率为 $\frac{3}{8}$

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19. 已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (100 ， 225)$ ，则下列说法正确的有（）
（参考数据：① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ；

② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；

③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ）

A、这次考试成绩超过100分的约有500人 B、这次考试分数低于70分的约有27人 C、 $P (115 < X \leq 130) = 0.0514$ D、从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 $\frac{1}{2}$

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20. 某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况(该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾､可回收物､其他垃圾为主)，随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱､“可回收物”箱､“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1000千克的生活垃圾，数据(单位：千克)统计如下：

	“厨余垃圾”箱	“可回收物”箱	“其他垃圾”箱
厨余垃圾的总投放质量/千克	400	100	100
可回收物的总投放质量/千克	30	240	30
其他垃圾的总投放质量/千克	20	20	60

根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是（）

A、厨余垃圾投放正确的概率为

\frac{2}{3}

. B、居民生活垃圾投放错误的概率为

\frac{3}{5}

. C、该小区这三类垃圾中，其他垃圾投放正确的概率最低. D、厨余垃圾在“厨余垃圾”箱､“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量的方差是20000.

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21. 一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）

A、取出的最大号码X服从超几何分布 B、取出的黑球个数Y服从超几何分布 C、取出2个白球的概率为 $\frac{1}{14}$ D、若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 $\frac{1}{14}$

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22. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 $A = a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ （例如10100）其中A的各位数中 $a_{k} (k = 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ 出现0的概率为 $\frac{1}{3}$ ，出现1的概率为 $\frac{2}{3}$ ，记 $X = a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ ，则当程序运行一次时（）

A、X服从二项分布 B、 $P (X = 1) = \frac{8}{81}$ C、X的期望 $E (X) = \frac{8}{3}$ D、X的方差 $D (X) = \frac{8}{3}$

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23. 下列命题中，正确的命题的是（）

A、已知随机变量服从二项分布 $B (n ， p)$ ，若 $E (x) = 30$ ， $D (x) = 20$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ ； B、将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变； C、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (- 1 < ξ \leq 0) = \frac{1}{2} - P$ ； D、某人在10次射击中，击中目标的次数为 $X$ ， $X ~ B (10 ， 0.8)$ ，则当 $x = 8$ 时概率最大．

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24. 现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（）

A、甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B、乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C、丙球员连续5场比赛得分都不低于24分 D、丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24

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四、培优

25. 某工厂有25周岁及以上工人300名，25周岁以下工人200名．统计了他们某日产品的生产件数，然后按“25周岁及以上”和“25周岁以下”分成两组，再分别将两组工人的日生产件数分成5组“ $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ”加以汇总，得到如图所示的频率分布直方图．规定生产件数不少于80件者为“生产能手”，零假设 $H_{0}$ ：生产能手与工人所在的年龄组无关．（）
注： $x^{2} = \frac{n {(a c - b d)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

A、该工厂工人日生产件数的25%分位数在区间 $[60 ， 70)$ 内 B、日生产件数的平均数“25周岁及以上组”小于“25周岁以下组” C、从生产不足60件的工人中随机抽2人，至少1人25周岁以下的概率为 $\frac{7}{20}$ D、根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，我们推断 $H_{0}$ 不成立

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26. 下列命题正确的是（）

A、已知随机变量X服从正态分布 $N (3, 1)$ ，且 $P (2 \leq X \leq 4) = 0.683$ ，则 $P (X > 4) = 0.317$ B、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = \ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 0.3 x + 4$ ，则 $c = e^{4}, k = 0.3$ C、已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ，若 $\hat{b} = 2, \bar{x} = 1$ . $\bar{y} = 3$ ，则 $\hat{a} = 1$ D、 $C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 4 C_{n}^{3} + \dots + 2^{n - 1} C_{n}^{n} = \frac{3^{n} - 1}{2}$

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27. 下列命题中，正确的命题是（）

A、数据1，3，4，5，6，8，10的第60百分位数为5 B、若随机变量 $X ~ N (3 ， σ^{2})$ ， $P (X > 2) = 0.62$ ，则 $P (3 < X < 4) = 0.12$ C、若随机变量 $X ~ B (7 ， \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = k)$ 取最大值时 $k = 3$ 或4 D、某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为10.5

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28. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图（如图）：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）

A、该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B、该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元 C、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

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29. 总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和.它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数.为了了解中国人均 $G D P x$ （单位：万元）和总和生育率 $y$ 以及女性平均受教育年限 $z$ （单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据 $(x_{i} ， y_{i} ， z_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10)$ 绘制了散点图，并得到经验回归方程 $\hat{z} = 7.54 + 0.33 x ， \hat{y} = 2.88 - 0.41 x$ ，对应的决定系数分别为 $R_{1}^{2} ， R_{2}^{2}$ ，则（）

A、人均GDP和女性平均受教育年限正相关 B、女性平均受教育年限和总和生育率负相关 C、 $R_{1}^{2} < R_{2}^{2}$ D、未来三年总和生育率将继续降低

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30. 对于一个事件E，用 $n (E)$ 表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件A，B，C，D中， $n (Ω) = 100 ， n (A) = 60 ， n (B) = 40 ， n (C) = 20 ， n (D) = 10 ， n (A ∪ B) = 100 ， n (A ∩ C) = 12$ ， $n (A ∪ D) = 70$ ，则（）

A、A与D不互斥 B、A与B互为对立 C、A与C相互独立 D、B与C相互独立

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$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828