【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第11题

试卷更新日期：2023-10-09 类型：二轮复习

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一、原题（多选题）

1. 若f(x)=alnx+ $\frac{b}{x}$ + $\frac{c}{x^{2}}$ (a≠0)既有极大值也有极小值，则（）

A、bc>0 B、ab>0 C、 $b^{2} + 8 a c > 0$ D、ac<0

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二、基础

2. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x - x l n x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、 $f' (x) \geq 0$ 恒成立 D、 $f (x) \geq 0$ 恒成立

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3. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - f (x) = x^{2} (l n x + 1)$ ，且 $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(1 ， + ∞)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{2} ， 1)$ 上有极小值 C、 $\frac{f (x)}{x}$ 的最小值为 $- 1$ D、 $f (x)$ 的最小值为0

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4. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x ， a \in R$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $f (x)$ 必有唯一极值点 B、若 $a = \frac{1}{2}$ ，则 $f (x)$ 在(0，+∞)上单调递增 C、若 $a = \frac{1}{2}$ ，对 $\forall x \in [0 ， + ∞)$ 有 $f (x) \geq k x$ 恒成立，则 $k \leq 1$ D、若存在 $x_{0} \in [2 ， 3]$ ，使得 $f (x_{0}) \leq 0$ 成立，则 $a \geq \frac{e^{2}}{4}$

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5. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 a x$ ， $a \in R$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $f (x)$ 必有唯一极值点 B、若 $a = 1$ ，则 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上有极小值 $1$ C、若 $a = 1$ ，对 $\forall x \in [0 ， + ∞)$ 有 $f (x) \geq k x$ 恒成立，则 $k \leq 2 e - 2$ D、若存在 $x_{0} \in [2 ， 3]$ ，使得 $f (x_{0}) \leq 0$ 成立，则 $a \geq \frac{e^{6}}{6}$

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x + \frac{3}{x} - m (m \in R)$ ，则（）

A、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点 B、 $f (1)$ 是 $f (x)$ 的最小值 C、 $f (x)$ 最多有2个零点 D、 $f (x)$ 最少有1个零点

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7. 下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (1) = 1 ，$ 则函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处切线斜率为 $1$ B、函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ 在区间 $[5 ， 20]$ 上存在增区间，则 $k < 160$ C、函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{a}{2} x^{2} + x + 1$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上有极值点，则 $2 \leq a \leq \frac{5}{2}$ D、若任意 $0 < a < b < t$ ，都有 $b l n a < a l n b$ ，则有实数 $t$ 的最大值为 $e$

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8. 关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + l n x$ ，下列判断正确的是（）

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正实数 $k$ ，使得 $f (x) > k x$ 成立 D、对两个不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) > \frac{1}{2} + l n 4$ .

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9. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 和 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ D、 $f (x)$ 的极值点为 $(- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{2 \sqrt{3}}{9}) ， (\frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{2 \sqrt{3}}{9})$

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10. 对于函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 处取得极大值 $\frac{1}{2 e}$ B、 $f (x)$ 有两个不同零点 C、 $f (\sqrt{2}) < f (\sqrt{π}) < f (\sqrt{3})$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - x (a \in R)$ ，则（）

A、当 $a = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值为 $- \frac{2}{3}$ B、若函数 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(1 ， f (1))$ ，则 $a = - 1$ C、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a \geq 1$ 或 $a \leq - 1$ D、函数 $f (x)$ 必有3个零点

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三、提升

12. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ，若 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，有 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = m$ ， $π$ 是圆周率， $e = 2.71828 ⋯$ 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点 B、 $m < \frac{1}{e}$ C、若 $0 < x_{1} < x_{2} < 4$ ，则 $2 < x_{1} < e$ D、若 $a = e^{3}$ ， $b = 3^{e}$ ， $c = e^{π}$ ， $d = π^{e}$ ， $s = 3^{π}$ ， $t = π^{3}$ ，则 $s$ 最大

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13. 已知曲线 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ， $g (x) = \frac{l n x}{x}$ ，及直线 $y = a$ ，下列说法中正确的是（）

A、曲线 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线与曲线 $g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线平行 B、若直线 $y = a$ 与曲线 $f (x)$ 仅有一个公共点，则 $a = \frac{1}{e}$ C、曲线 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有且仅有一个公共点 D、若直线 $y = a$ 与曲线 $f (x)$ 交于点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，与曲线 $g (x)$ 交于点 $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ ，则 $x_{1} x_{3} = x_{2}^{2}$

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14. 已知函数 $f (x) = e^{x} - l n (x + a)$ ， $a \in R$ ，则（）．

A、当 $a = 2$ 时，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切 B、当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 没有零点 C、当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 是增函数 D、当 $a = 2$ 时， $f (x)$ 只有一个极值点 $x_{0} \in (- 1 ， 0)$

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15. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ ，则下列结论中正确的是（）

A、导函数 $f^{^{'}} (x)$ 的单调递减区间为 $(0 ， 2)$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 中心对称 C、过原点 $O$ 只能作一条直线与 $f (x)$ 的图象相切 D、 $f (x)$ 恰有两个零点

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16. 设函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x + 1)}{x}$ ，则（）

A、 $f^{'} (1) = 2 e$ B、函数 $f (x)$ 的图象过点 $(- 1 ， \frac{1}{e})$ 的切线方程为 $y = \frac{1}{e}$ C、函数 $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值 D、方程 $f (x) = k$ 有两个不等实根，则实数 $k$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{1}{e}) ∪ (4 \sqrt{e} ， + \infty)$

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17. 已知 $a b \neq 0$ ，函数 $f (x) = e^{a x} + x^{2} + b x$ ，则（）

A、对任意 $a$ ， $b$ ， $f (x)$ 存在唯一极值点 B、对任意 $a$ ， $b$ ，曲线 $y = f (x)$ 过原点的切线有两条 C、当 $a + b = - 2$ 时， $f (x)$ 存在零点 D、当 $a + b > 0$ 时， $f (| x |)$ 的最小值为1

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18. 设函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{e^{x}}$ ，则下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上为减函数 B、对 $\forall x \neq 0$ ，都有 $\frac{f (x)}{x} \geq g (x)$ 恒成立 C、对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) + 1 \geq g (x)$ 恒成立 D、函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 有两个极值点

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19. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | \cdot e^{x} + a$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 在 $(2 ， 3)$ 上单调递减 B、 $y = f (x)$ 恰有一个极大值和一个极小值 C、当 $a \geq 0$ 或 $a < - e^{2}$ 时， $f (x) = 0$ 有一个实数解 D、当 $a = 0$ 时， $f (f (x)) = 0$ 有一个实数解

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20. 已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（）

A、 $l n 2 > \frac{2}{e}$ B、 $l n 3 < \frac{3}{e}$ C、 $l n π > \frac{π}{e}$ D、 $\frac{l n 2}{l n π} < \frac{2}{π}$

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21. 已知函数 $f (x) = | e^{x} - 1 |$ ， $x_{1} < 0$ ， $x_{2} > 0$ ，函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ 处的切线与在点 $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ 处的切线互相垂直，且分别与 $y$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点，则（）

A、 $x_{1} + x_{2}$ 为定值 B、 $x_{1} x_{2}$ 为定值 C、直线 $A B$ 的斜率取值范围是 $(0 ， + ∞)$ D、 $\frac{| A M |}{| B N |}$ 的取值范围是 $(0 ， 1)$

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四、培优

22. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\forall a ， b ， c ， d \in R$ ，方程 $f (x) = 0$ 有解 B、若 $a < 0$ ，且 $f (x)$ 有极小值点 $x_{0}$ ，则 $f (x)$ 在 $(- \infty ， x_{0})$ 上单调递减 C、若 $a \neq 0$ 且 $b^{2} > 3 a c$ ，则 $f (x)$ 存在极大值和极小值 D、若 $a \neq 0$ ，则 $f (x)$ 的图象是中心对称图形

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23. 函数 $f (x) = (x + \frac{a}{x}) l n | x | + b (a ， b \in R)$ ，则（）

A、 $\exists a \in R$ ，使得 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上递减 B、 $\exists a ， b ∈ R$ ，使得直线 $y = 2 x - 1$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线 C、 $\exists a \in R$ ，使得 $b$ 既为 $f (x)$ 的极大值也为 $f (x)$ 的极小值 D、 $\exists a ， b ∈ R$ ，使得 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} = 1$

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24. 已知函数 $f (x) = e^{x} l n (x + 1)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数，则（）

A、函数 $y = f^{'} (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增 B、函数 $y = f^{'} (x)$ 有唯一极小值 C、函数 $y = f (x) - x$ 在 $(- 1 ， 0)$ 上有且只有一个零点 $t$ ，且 $t \in (- \frac{1}{2} ， 0)$ D、对于任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x_{1} + x_{2}) > f (x_{1}) + f (x_{2})$ 恒成立

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25. 已知 $e$ 为自然对数的底数，设 $f (x) = (x - 1) (l n x - 1)^{k} (k = 1 ， 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $k = 1$ 时， $f (x)$ 既有极小值又有极大值 B、当 $k = 1$ 时， $f (x)$ 只有极小值无极大值 C、当 $k = 2$ 时， $f (x)$ 既有极小值又有极大值 D、当 $k = 2$ 时， $f (x)$ 只有极小值无极大值

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26. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) + f^{'} (x) = x l n x$ ， $f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{e}) \cdot e^{\frac{1}{e} - 1} > f (1)$ B、 $f (e) \cdot e^{e - 1} > f (1)$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是增函数 D、 $f (x)$ 存在最小值

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27. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x) > f (x)$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $e f (l n 2) > 2 f (1)$ B、 $e^{\sqrt{1.2}} f (e^{0.1}) > e^{e^{0.1}} f (\sqrt{1.2})$ C、 $\sqrt{2} f (\frac{1}{e}) > e^{\frac{1}{e}} f (l n \sqrt{2})$ D、 $e^{\frac{\sqrt{e}}{2}} f (2 l n 2) < 4 f (\frac{\sqrt{e}}{2})$

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28. 若不等式 $l n a + b - a e^{b - 1} \geq 0$ 恒成立，其中 $e$ 为自然对数的底数，则 $\frac{b}{a}$ 的值可能为（）

A、 $e^{- 1}$ B、 $e^{- 2}$ C、 $- e^{- 1}$ D、 $- e^{- 2}$

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29. 函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - x + 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3})$ 上为减函数，则 $- 1 \leq a \leq \frac{1}{4}$ B、若函数 $f (x)$ 的对称中心为 $(1 ， - 2)$ ，则 $a = \frac{3}{2}$ C、当 $a = 1$ 时，若 $f (x) = m$ 有三个根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1} < \frac{9 m - 16}{16}$ D、当 $a = 1$ 时，若过点 $(- 1 ， n)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，则 $0 < n < \frac{64}{27}$

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30. 当 $x > 1$ 且 $y > 1$ 时，不等式 $\frac{e^{2 x}}{l n^{2} y} > {(\frac{x}{y})}^{n}$ 恒成立，则自然数 $n$ 可能为（）

A、0 B、2 C、8 D、12

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31. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x + b (b \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 一定有两个极值点 B、函数 $y = f (x)$ 在R上单调递增 C、过点 $(0 ， b)$ 可以作曲线 $y = f (x)$ 的2条切线 D、当 $b = \frac{7}{12}$ 时， $f (\frac{1}{2023}) + f (\frac{2}{2023}) + f (\frac{3}{2023}) + ⋯ + f (\frac{2022}{2023}) = 2022$

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