【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第10题

试卷更新日期：2023-10-09 类型：二轮复习

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一、原题（多选题）

1. 设O为坐标原点，直线 $y = - \sqrt{3} (x - 1)$ 过抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p ＞ 0 ）$ 的焦点，且与C交于M，N两点， $l$ 为C的准线，则（）

A、 $p = 2$ B、 $| M N | = \frac{8}{3}$ C、以MN为直径的圆与 $l$ 相切 D、 $△ O M N$ 为等腰三角形

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二、基础

2. 若抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $M$ 在抛物线 $C$ 上且在第一象限，直线 $M F$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ， $M$ 在直线 $l$ 上的射影为 $A$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $F$ 到直线 $y = x + 1$ 的距离为 $\sqrt{3}$ B、 $△ M A F$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ C、 $A F$ 的垂直平分线过点 $M$ D、以 $M F$ 为直径的圆过点 $(0 ， 2)$

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3. （多选）对于抛物线上 $\frac{1}{8} x^{2} = y$ ，下列描述正确的是（）

A、开口向上，焦点为 $(0 ， 2)$ B、开口向上，焦点为 $(0 ， \frac{1}{16})$ C、焦点到准线的距离为4 D、准线方程为 $y = - 4$

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4. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（）

A、 $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| B F |} = 1$ B、弦AB的长度最小值为l C、以AF为直径的圆与y轴相切 D、以AB为直径的圆与抛物线的准线相切

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5. 如图，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，过抛物线焦点 $F$ 的直线 $l$ 自上而下，分别交抛物线与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 于 $A ， C ， D ， B$ 四点，则（）

A、 $| A C | \cdot | B D | \geq 2$ B、 $| O F | \cdot | A B | \geq 4$ C、 $| O A | \cdot | O B | \geq 5$ D、 $| A B | \cdot | A F | \geq 8$

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6. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点 $E (t ， 2)$ 到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的（）

A、抛物线的方程是 $x^{2} = 2 y$ B、抛物线的准线方程是 $y = - 1$ C、 $s i n ∠ Q M N$ 的最小值是 $\frac{1}{2}$ D、线段AB的最小值是6

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7. 已知过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 的直线与抛物线交于点 $A$ 、 $B$ ，若 $A$ 、 $B$ 两点在准线上的射影分别为 $M$ 、 $N$ ，线段 $M N$ 的中点为 $C$ ，则下列叙述正确的是（）

A、 $A C ⊥ B C$ B、四边形 $A M C F$ 的面积等于 $\frac{1}{2} | A C | | M F |$ C、 $| A F | + | B F | = | A F | \cdot | B F |$ D、直线AC与抛物线相交

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8. 设抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 焦点为 $F$ ，点 $D$ 为抛物线 $C$ 准线上的点，经过点 $P (m ， 0)$ 的动直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，其中坐标原点为 $O$ ，则（）

A、若 $m = 1$ ，则 $∠ A D B > 9 0^{∘}$ B、若 $m = 3$ ，则 $∠ A D B < 9 0^{∘}$ C、若 $m = 3$ ，则 $∠ A F B > 9 0^{∘}$ D、若 $m = 4$ ，则 $∠ A O B = 9 0^{∘}$

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9. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 及一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ （非坐标原点），过点 $P$ 作直线与抛物线交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则（）

A、若 $y_{0} = 0$ ，则 $y_{1} y_{2} = - 2 p x_{0}$ B、若 $x_{0} = 0$ ，则 $\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = \frac{1}{y_{0}}$ C、 $(y_{0} - y_{1}) (y_{0} - y_{2}) = y_{0}^{2} - 2 p x_{0}$ D、 $| P A | \cdot | P B | = y_{0}^{2} - 2 p x_{0}$

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（）

A、 $| P F |$ 最小值为2 B、若 $| P A | = | P B |$ ，则 $| A B | = 2 | P F |$ C、若 $| A B | = 8$ ，则 $| P F | = 2 \sqrt{2}$ D、若点P不在x轴上，则 $| F A | \cdot | F B | > {| P F |}^{2}$

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11. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (2 a ， 0) ， B (2 a ， 2 a^{2}) (a \neq 0)$ ，线段 $A B$ 的中点 $M$ 在抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上，连接 $O B$ 并延长，与 $C$ 交于点 $N$ ，则（）

A、 $C$ 的准线方程为 $y = - \frac{1}{2}$ B、点 $B$ 为线段 $O N$ 的中点 C、直线 $A N$ 与 $C$ 相切 D、 $C$ 在点 $M$ 处的切线与直线 $O N$ 平行

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12. 已知F是抛物线 $W ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $A (1 ， 2)$ 在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的垂线，垂足分别为M，N，则（）

A、四边形 $A M F N$ 面积的最大值为2 B、四边形 $A M F N$ 周长的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{| B C |} + \frac{1}{| D E |}$ 为定值 $\frac{1}{4}$ D、四边形 $B D C E$ 面积的最小值为32

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13. 已知点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $G (0 ， 1)$ ，抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ．过点 $G$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点，直线 $A P ， A Q$ 分别与 $C$ 交于另一点 $E ， F$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $y_{1} + y_{2} = y_{1} y_{2}$ B、直线 $E F$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ C、若 $△ P O E$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $\vec{O E}$ 与 $\vec{O P}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ D、若 $M$ 为抛物线 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的一点， $| A M | = t | M B |$ ，则当 $t$ 取最大值时， $△ A B M$ 的面积为2

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14. 已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p 0)$ 上，过点 $B (0 ， - 1)$ 的直线交C于P，Q两点，则（）

A、C的准线为 $y = - 1$ B、直线AB与C相切 C、 $| O P | \cdot | O Q ∣ > ∣ O A ∣^{2}$ D、 $∣ B P ∣ \cdot ∣ B Q ∣ > ∣ B A ∣^{2}$

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三、提升

15. 已知 $O$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点，直线 $l$ 交抛物线于M ， N两点，过点M ， N分别向准线 $x = - \frac{p}{2}$ 作垂线，垂足分别为P ， Q ，则下列说法正确的是（）

A、若直线l过焦点 $F$ ，则N ， O ， P三点不共线 B、若直线 $l$ 过焦点 $F$ ，则 $P F ⊥ Q F$ C、若直线 $l$ 过焦点 $F$ ，则抛物线 $C$ 在M，N处的两条切线的交点在某定直线上 D、若 $O M ⊥ O N$ ，则直线 $l$ 恒过点 $(2 p ， 0)$

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过 $F$ 的一条直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若点 $M$ 在 $l$ 上运动，则（）

A、当 $| A M | = | A F |$ 时， $A M ⊥ l$ B、当 $| A M | = | A F | = | M F |$ 时， $| A F | = 2 | B F |$ C、当 $M A ⊥ M B$ 时， $A ， M ， B$ 三点的纵坐标成等差数列 D、当 $M A ⊥ M B$ 时， $| A M | \cdot | B M | \geq 2 | A F | \cdot | B F |$

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17. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (0 ， m)$ $(m \neq 0)$ ，过点 $B$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，AP，AQ分别交抛物线 $C$ 于 $M$ ， N两点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、焦点坐标为 $(2 ， 0)$ B、向量 $\vec{O P}$ 与 $\vec{O M}$ 的数量积为5 C、直线MN的斜率为 $m$ D、若直线PQ过焦点 $F$ ，则OF平分 $∠ P A Q$

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18. 已知点 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $O$ 为坐标原点，直线 $l$ 与抛物线交于 $A ､ B$ 两点，抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $P$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ ，则直线 $O A ， O B$ 斜率之积为定值 B、若抛物线上的点 $E (2 ， t)$ 到点 $F$ 的距离为4，则抛物线的方程为 $y^{2} = 4 x$ C、以 $A B$ 为直径的圆与准线相切 D、直线 $m$ 过点 $P$ 且交 $C$ 于不同的 $M ､ N$ 两点，则 $| M F | + | N F | > 2 | P F |$

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $O$ 为坐标原点， $F$ 为焦点，其准线过点 $A (- 1 ， 0)$ ，过点 $B (0 ， 1)$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ 与 $C$ 交于另一点 $M$ ，直线 $A Q$ 与 $C$ 交于另一点 $N$ ，则（）

A、抛物线 $C$ 上一点 $G$ 到焦点 $F$ 的距离为3，则点 $G$ 到原点的距离为 $2 \sqrt{3}$ B、 $\vec{O P} \cdot \vec{O M} = 5$ C、直线 $M N$ 的斜率为 $\frac{3}{2}$ D、若 $H$ 为抛物线 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的一点， $| A H | = t | H F |$ ，则当 $t$ 取最大值时， $△ A F H$ 的面积为2

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20. 设抛物线C： $y = x^{2}$ 的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（）

A、 $P Q ⊥ x$ 轴 B、 $P F ⊥ A B$ C、 $∠ P F A = ∠ P F B$ D、 $| A F | + | B F | = 2 | P F |$

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 $4$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，且 $\vec{P Q} = 2 \vec{P R}$ ， $R (4 ， 6)$ ，若过点 $P$ 、 $Q$ 分别作 $C$ 的两条切线交于点 $A$ ，则下列各选项正确的是（）

A、 $| A F | = 4 \sqrt{2}$ B、 $| P Q | = 12$ C、 $P Q ⊥ A F$ D、以 $P Q$ 为直径的圆过点 $A$

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22. 已知拋物线 $E ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $F$ 与点 $C$ 关于原点对称，过点 $C$ 的直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 和点 $C$ 在点 $B$ 的两侧），则下列命题正确的是（）

A、若 $B F$ 为△ $A C F$ 的中线，则 $| A F | = 2 | B F |$ B、若 $B F$ 为 $∠ A F C$ 的角平分线，则 $| A F | = 6$ C、存在直线 $l$ ，使得 $| A C | = \sqrt{2} | A F |$ D、对于任意直线 $l$ ，都有 $| A F | + | B F | > 2 | C F |$

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23. 过抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点F的直线 $l$ 交抛物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点.若 $| A F | = 2 | B F | = 6$ ，则下列说法正确的是（）

A、抛物线E的准线方程为 $y = - 4$ B、过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上 C、若 $O$ 为坐标原点，则 $| O M | = \frac{\sqrt{33}}{2}$ D、若过点 $F$ 且与直线 $l$ 垂直的直线 $m$ 交抛物线于C，D两点，则 $| A B | \cdot | C D | = 144$

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24. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为 $A_{1} ， B_{1}$ ．设直线l的倾斜角为 $θ$ ，当 $θ = \frac{π}{6}$ 时， $| A B | = 16$ ．则下列说法正确的是（）

A、 $∠ A M B$ 有可能为直角 B、 $| M F | | A_{1} B_{1} | = | F A_{1} | | F B_{1} |$ C、Q为抛物线C上一个动点， $E (3 ， 1)$ 为定点， $| | Q E | - | Q F | |$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ D、过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在 $θ$ ，使 $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| P F |} = 1$

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25. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ ， O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 $l_{1}$ 从点M（5，2）射入，经过C上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线 $l_{2}$ 射出，经过点N.下列说法正确的是（）

A、 $| P Q | = 8$ B、若延长PO交直线 $x = - 2$ 于D，则点D在直线 $l_{2}$ 上 C、MQ平分∠PQN D、抛物线C在点P处的切线分别与直线 $l_{1}$ 、FP所成角相等

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26. 已知 $F_{1} (- 2 ， 0) ， F_{2} (2 ， 0)$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，且 $F_{2}$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ， $O$ 为坐标原点，点 $M (1 ， \sqrt{3})$ ， $P$ 为 $C$ 右支上的一点，则（）

A、 $a = b = \sqrt{2}$ B、过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点 C、 $| P O |^{2} = | P F_{1} | \cdot | P F_{2} |$ D、当 $P ， M ， F_{1} ， F_{2}$ 四点共圆时， $∠ P F_{1} F_{2} = 15 °$

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四、培优

27. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，A、B是抛物线上两动点，过点A、B分别作抛物线的切线，记两条切线的交点为P，则下列说法正确的是（）

A、F点坐标为 $(0 ， 1)$ B、若 $| A B | = 8$ ，则线段 $A B$ 中点到x轴距离的最小值为3 C、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则直线 $A B$ 过焦点F D、若直线 $A B$ 斜率为1，则 $| \vec{P F} |$ 的最小值为2

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28. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，直线l与C交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（）

A、若直线l经过焦点F，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 12$ ，则 $p = 2$ B、若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，则直线l的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ C、若以AB为直径的圆M经过焦点F，则 $\frac{| A B |}{| M N |}$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ D、若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切

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29. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l ： 2 x + y - 6 = 0$ 与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $M$ 是线段 $A B$ 的中点，过 $M$ 作 $y$ 轴的垂线交抛物线 $C$ 于点 $N$ ，则下列判断正确的是（）

A、若 $l$ 过点 $F$ ，则 $C$ 的准线方程为 $x = - 3$ B、若 $l$ 过点 $F$ ，则 $\frac{| A F | \cdot | B F |}{| A B |} = 3$ C、若 $\vec{N A} \cdot \vec{N B} = 0$ ，则 $p = \frac{24}{19}$ D、若 $\vec{N A} \cdot \vec{N B} = 0$ ，则点 $F$ 的坐标为 $(\frac{5}{2} ， 0)$

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30. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 x$ 的准线为 $l$ ，直线 $x = m y + n$ 与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（）

A、当 $n = \frac{1}{2}$ 时，以AB为直径的圆与 $l$ 相交 B、当 $n = 2$ 时，以AB为直径的圆经过原点O C、当 $| A B | = 4$ 时，点M到 $l$ 的距离的最小值为2 D、当 $| A B | = 1$ 时，点M到 $l$ 的距离无最小值

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31. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线为 $l$ ，点 $M$ 在抛物线上，以 $M$ 为圆心的圆与 $l$ 相切于点 $N$ ，点 $A (5 ， 0)$ 与抛物线的焦点 $F$ 不重合，且 $| M N | = | M A |$ ， $∠ N M A = 120 °$ ，则（）

A、圆 $M$ 的半径是4 B、圆 $M$ 与直线 $y = - 1$ 相切 C、抛物线上的点 $P$ 到点 $A$ 的距离的最小值为4 D、抛物线上的点 $P$ 到点 $A$ ， $F$ 的距离之和的最小值为4

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32. 已知P为抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的动点， $Q (4 ， - 4)$ 在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点， $M (3 ， - 2)$ ， $N (- 1 ， 1)$ ，则（）

A、 $| P M | + | P F |$ 的最小值为4 B、若线段AB的中点为M，则 $△ N A B$ 的面积为 $\sqrt{2}$ C、若 $N A ⊥ N B$ ，则直线l的斜率为2 D、过点 $E (1 ， 2)$ 作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分 $∠ G E H$ ，则直线GH的斜率为定值

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