吉林省吉林市2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 55 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $35 °$ C、 $45 °$ D、 $55 °$

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2. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 上一点， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，下列说法中，错误的是（）

A、 $△ A B C$ 中， $A C$ 是 $B C$ 上的高 B、 $△ A B D$ 中， $D E$ 是 $A B$ 上的高 C、 $△ A B D$ 中， $A C$ 是 $B D$ 上的高 D、 $△ A D E$ 中， $A E$ 是 $A D$ 上的高

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3. 将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则 $∠ 1 =$ （）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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4. 如图，点E、点F在 $B C$ 上， $B E = C F$ ， $∠ B = ∠ C$ ，添加一个条件，不能证明 $△ A B F ≌ △ D C E$ 的是（）

A、 $∠ A = ∠ D$ B、 $∠ A F B = ∠ D E C$ C、 $A B = D C$ D、 $A F = D E$

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5. 如图，用直尺和圆规作 $∠ M A N$ 的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）

A、 $A D = A E$ B、 $A D = D F$ C、 $D F = E F$ D、 $A F ⊥ D E$

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6. 图中表示被撕掉一块的正 $n$ 边形纸片，若 $a ⊥ b$ ，则 $n$ 的值是（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是．

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8. 一个三角形的两边长分别是 $2$ 和 $5$ ，则第三边长可以是 $. ($ 写出一个即可 $)$

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9. 如图所示，点 $O$ 在一块直角三角板 $A B C$ 上（其中 $∠ A B C = 30 °$ ）， $O M ⊥ A B$ 于点 $M$ ， $O N ⊥ B C$ 于点 $N$ ，若 $O M = O N$ ，则 $∠ A B O =$ 度.

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10. 如图，已知 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，点B，E，C，F依次在同一条直线上. 若 $B C = 8$ ， $C E = 5$ ，则CF的长为.

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11. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边 $A B$ 与正方形的边 $C D$ 在同一条直线上，则 $∠ B O C$ 的度数是．

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12. 如图，已知 $A D$ 为 $△ A B C$ 的中线， $A B = 10 c m$ ， $A C = 7 c m$ ， $△ A C D$ 的周长为 $20 c m$ ，则 $△ A B D$ 的周长为 $c m$ ．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 边于点 $D$ ， $△ A B D$ 的面积为 $30$ ， $A B = 15$ ，则线段 $C D$ 的长度为．

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14. 如图所示， $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 =$ ．

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三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 已知一个多边形的内角和比外角和的 $2$ 倍多 $180 °$ ，则这个多边形的边数是多少？

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16. 如果一个三角形的一边长为 $9 c m$ ，另一边长为 $2 c m$ ，若第三边长为 $x c m$ ．

(1)、求第三边 $x$ 的范围；

(2)、当第三边长为奇数时，求三角形的周长．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 40 °$ ， $∠ C = 60 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，求 $∠ A D B$ 的度数．

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18. 如图， $A B = A D$ ， $∠ D A C = ∠ B A E$ ， $∠ B = ∠ D$ ，求证 $B C = D E$ ．

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19. 图为 $7 \times 9$ 的网格，每一小格均为正方形，已知 $△ A B C$ ．

⑴画出 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中线 $A D$ ；

⑵画出 $△ A B C$ 中 $A B$ 边上的高 $C E$ ；

⑶直接写出 $△ A B C$ 的面积为 ▲ ．

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20. 如图， $O C$ 是 $∠ A O B$ 内的一条射线， $D$ 是 $O C$ 上一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ O A$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ O B$ 于点 $F$ ，已知 $O E = O F$ ，求证： $O C$ 是 $∠ A O B$ 的平分线．

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21. 数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度 $($ 该段河流两岸是平行的 $)$ ，在数学老师带领下他们是这样做的：
      $①$ 在河流的一条岸边 $B$ 点，选对岸正对的一棵树 $A$ 为参照点；

      $②$ 沿河岸直走 $10 m$ 有一棵树 $C$ ，继续前行 $10 m$ 到达 $D$ 处；

      $③$ 从 $D$ 处沿河岸垂直的方向行走，当到达 $A$ 树正好被 $C$ 树遮挡住的 $E$ 处停止行走；

      $④$ 测得 $D E$ 的长为 $4.5 m$ ．

(1)、河流的宽度为 $m$ ；

(2)、请你说明他们做法的正确性．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 50 °$ ， $∠ C = 20 ° .$ 过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ ，垂足为 $E$ ，延长 $E A$ 至点 $D .$ 使 $A D = A C .$ 在边 $A C$ 上截取 $A F = A B$ ，连接 $D F .$ 求证： $D F = C B$ ．

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23. 如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线 $A B$ 的两侧，且 $A E = B F$ ， $∠ A = ∠ B$ ． $∠ A C E = ∠ B D F$ ．

(1)、求证： $△ A C E ≌ △ B D F$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $A C = 2$ ，求 $C D$ 的长．

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24. 如图，已知 $∠ C = ∠ F = 90 °$ ， $A C = D F$ ， $A E = D B$ ， $B C$ 与 $E F$ 交于点 $O$ ．

(1)、求证： $R t △ A B C$ ≌ $R t △ D E F$ ；

(2)、若 $∠ A = 51 °$ ，求 $∠ B O F$ 的度数．

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25. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的角平分线与外角 $∠ A C D$ 的平分线交于 $A_{1}$ ．

(1)、如图 $1$ ，若 $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ A_{1} =$ ．

(2)、如图 $2$ ，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的角平分线及外角 $∠ D C E$ 的角平分线相交于点 $F$ ，若 $∠ A + ∠ D = 230 °$ ，求 $∠ F$ 的度数．

(3)、如图 $3$ ， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的角平分线与外角 $∠ A C D$ 的角平分线交于 $A_{1}$ ，若 $E$ 为 $B A$ 延长线上一动点，连接 $E C$ ， $∠ A E C$ 与 $∠ A C E$ 的角平分线交于点 $Q$ ，当 $E$ 滑动时有下面两个结论：
$① ∠ Q + ∠ A_{1}$ 的值为定值；

$② ∠ Q - ∠ A_{1}$ 的值为定值；

其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．

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26. 如图

(1)、模型的发现：
如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，直线 $l$ 经过点 $A$ ，且 $B$ 、 $C$ 两点在直线 $l$ 的同侧， $B D ⊥$ 直线 $l$ ， $C E ⊥$ 直线 $l$ ，垂足分别为点 $D$ ， $E .$ 请直接写出 $D E$ 、 $B D$ 和 $C E$ 的数量关系．

(2)、模型的迁移 $1$ ：位置的改变
如图 $2$ ，在 $(1)$ 的条件下，若 $B$ ， $C$ 两点在直线 $l$ 的异侧，请说明 $D E$ 、 $B D$ 和 $C E$ 的关系，并证明．

(3)、模型的迁移 $2$ ：角度的改变
如图 $3$ ，在 $(1)$ 的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即 $∠ B A C = ∠ 1 = ∠ 2 = a$ ，其中 $90 ° < a < 180 °$ ， $(1)$ 的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明 $D E$ 、 $B D$ 和 $C E$ 的关系，并证明．

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