上海市嘉定区2023年中考一模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列 $y$ 关于 $x$ 的函数中，一定是二次函数的是（）

A、 $y = (a + 2) x^{2} + 1$ B、 $y = \frac{1}{x^{2}} + 1$ C、 $y = (x + 2) (x + 1) - x^{2}$ D、 $y = 2 x^{2} + 3 x$

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2. 抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ 一定经过点（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(2 ， 0)$ C、 $(4 ， 0)$ D、 $(0 ， 4)$ ．

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3. 如果把 $R t △ A B C$ 三边的长度都扩大为原来的 $3$ 倍，那么锐角 $A$ 的四个三角比的值（）

A、都扩大为原来的 $3$ 倍 B、都缩小为原来的 $\frac{1}{3}$
C、都没有变化 D、都不能确定

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4. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $B C = 3$ ，那么 $∠ A$ 的正弦值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $3$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，下列条件中不能判定 $\vec{a} / / \vec{b}$ 的是（）

A、 $\vec{a} = 2 \vec{b}$ B、 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$
C、 $\vec{a} / / \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ D、 $\vec{a} = \vec{c}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{c}$

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6. 如图，已知 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$ ，它们依次交直线 $l_{4}$ 、 $l_{5}$ 于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，如果 $D E$ ： $D F = 3$ ： $5$ ， $A C = 12$ ，那么 $B C$ 的长等于（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{36}{5}$

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二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$ ，那么 $\frac{a - b}{a + b} =$ ．

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8. 已知抛物线 $y = (a - 1) x^{2} + 2 x$ 开口向下，那么 $a$ 的取值范围是．

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9. 将抛物线 $y = x^{2} + 6 x$ 向右平移 $4$ 个单位，得到的新抛物线表达式是．

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10. 已知点 $A (1 ， y_{1})$ 、 $B (3 ， y_{2})$ 在二次函数 $y = - x^{2} + 2$ 的图象上，那么 $y_{1}$ $y_{2} ($ 填“ $>$ ”、“ $=$ ”、“ $<$ ” $)$ ．

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11. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，如果此抛物线与 $x$ 轴的一个交点的坐标是 $(3 ， 0)$ ，那么抛物线与 $x$ 轴的另一个交点的坐标是．

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12. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $c o s B = \frac{1}{3}$ ，那么 $A B$ 的长是．

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13. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $D C / / A B$ ， $A D = B C$ ， $B D ⊥ A D$ ，如果 $B C = 4$ ， $c o t ∠ C D B = \frac{3}{2}$ ，那么 $B D =$ ．

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14. 如图，某飞机在离地面垂直距离 $1000$ 米的上空 $A$ 处，测得地面控制点 $B$ 的俯角为 $60 °$ ，那么飞机与该地面控制点之间的距离 $A B$ 等于米 $($ 结果保留根号 $)$ ．

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15. 如图，已知在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A B$ 上，且 $A B = 3 A E$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{C E} =$ ．

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16. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A D$ 、 $B E$ 分别是 $B C$ 、 $A C$ 边上的中线，且相交于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $F G / / A C$ ，那么 $\frac{D G}{B C} =$ ．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E / / B C$ ， $D F / / A C$ ，如果 $S_{△ A D E} = 4$ ， $S_{△ B D F} = 9$ ，那么 $S_{△ A B C} =$ ．

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18. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $A B = 3$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线 $($ 如图 $) .$ 将 $△ A B C$ 绕着点 $C$ 逆时针旋转，使点 $A$ 落在线段 $A D$ 上的点 $E$ 处，点 $B$ 落在点 $F$ 处，边 $E F$ 与边 $B C$ 交于点 $G$ ，那么 $D G$ 的长是．

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三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算： $3 t a n 45 ° \cdot c o t 60 ° + 2 | s i n 30 ° - 1 | - \frac{c o t 45 °}{t a n 6 0^{∘} + 2 c o s 4 5^{∘}}$ ．

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20. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $A (1 ， 5)$ 、 $B (0 ， 3)$ 、 $C (- 1 ， - 3)$ 三点．

(1)、求这个函数的解析式；

(2)、用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．

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21. 如图，已知在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 边上的一点， $C E$ 与 $B D$ 相交于点 $F$ ， $C E$ 与 $B A$ 的延长线相交于点 $G$ ， $D E = 3 A E$ ， $C E = 12 .$ 求 $G E$ 、 $C F$ 的长．

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22. $《$ 海岛算经 $》$ 是中国古代测量术的代表作，原名 $《$ 重差 $》 .$ 这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁 $.$ 直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图 $2$ ，为测量海岛上一座山峰 $A H$ 的高度，直立两根高 $2$ 米的标杆 $B C$ 和 $D E$ ，两杆间距 $B D$ 相距 $6$ 米， $D$ 、 $B$ 、 $H$ 三点共线 $.$ 从点 $B$ 处退行到点 $F$ ，观察山顶 $A$ ，发现 $A$ 、 $C$ 、 $F$ 三点共线，且仰角为 $45 °$ ；从点 $D$ 处退行到点 $G$ ，观察山顶 $A$ ，发现 $A$ 、 $E$ 、 $G$ 三点共线，且仰角为 $30 ° . ($ 点 $F$ 、 $G$ 都在直线 $H B$ 上 $)$

(1)、求 $F G$ 的长 $($ 结果保留根号 $)$ ；

(2)、山峰高度 $A H$ 的长 $($ 结果精确到 $0.1$ 米 $) . ($ 参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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23. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $C B$ 、 $A C$ 的延长线上，且 $∠ D A B = ∠ E B C$ ， $E B$ 的延长线交 $A D$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ D B F$ ∽ $△ E B C$ ；

(2)、如果 $A B = B C$ ，求证： $E C^{2} = D F \cdot D A$ ．

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24. 如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1 ， 4)$ 、 $B (3 ， - 4)$ 两点，且与 $y$ 轴的交点为点 $C$ ．

(1)、求此抛物线的表达式及对称轴；

(2)、求 $c o t ∠ O B C$ 的值；

(3)、在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $△ P B C$ 是以 $B C$ 为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点 $P$ 坐标；如果不存在，请说明理由．

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25. 已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A B = 4$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A C$ 、边 $B C$ 上 $($ 点 $E$ 不与点 $A$ 重合，点 $F$ 不与点 $B$ 重合 $)$ ，联结 $E F$ ，将 $△ C E F$ 沿着直线 $E F$ 翻折后，点 $C$ 恰好落在边 $A B$ 上的点 $D$ 处 $.$ 过点 $D$ 作 $D M ⊥ A B$ ，交射线 $A C$ 于点 $M .$ 设 $A D = x$ ， $\frac{C F}{C E} = y$ ，

(1)、如图 $1$ ，当点 $M$ 与点 $C$ 重合时，求 $\frac{M D}{E D}$ 的值；

(2)、如图 $2$ ，当点 $M$ 在线段 $A C$ 上时，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出定义域；

(3)、当 $\frac{C M}{C E} = \frac{1}{2}$ 时，求 $A D$ 的长．

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