上海市青浦区2023年中考一模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知三个数 $1$ 、 $3$ 、 $4$ ，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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2. 三角形的重心是（）

A、三角形三条角平分线的交点 B、三角形三条中线的交点
C、三角形三条边的垂直平分线的交点 D、三角形三条高的交点

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3. 如果把一个锐角 $△ A B C$ 的三边的长都扩大为原来的 $2$ 倍，那么锐角 $A$ 的正弦值（）

A、扩大为原来的 $2$ 倍 B、缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ C、没有变化 D、不能确定

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4. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，下列条件中，不能判定向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 平行的是（）

A、 $\vec{a} / / \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ B、 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$
C、 $\vec{a} = 2 \vec{c}$ ， $\vec{b} = 3 \vec{c}$ D、 $\vec{a} + 2 \vec{b} = \vec{0}$

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5. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）

A、①与②相似 B、①与③相似 C、①与④相似 D、②与④相似

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6. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c (b ， c$ 为常数 $)$ ．
命题 $①$ ：该函数的图象经过点 $(- 1 ， 0)$ ；命题 $②$ ：该函数的图象经过点 $(- 3 ， 0)$ ；命题 $③$ ：该函数的图象与 $y$ 轴的交点位于 $x$ 轴的下方；命题 $④$ ：该函数的图象的对称轴为直线 $x = - 1 .$ 如果这四个命题中只有一个命题是假命题，那么这个假命题是（）

A、命题 $①$ B、命题 $②$ C、命题 $③$ D、命题 $④$

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二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7. 如果 $a$ ： $b = 2$ ： $3$ ，那么 $(a + b)$ ： $b =$ ．

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8. 已知向量 $\vec{a}$ 与单位向量 $\vec{e}$ 方向相反，且 $| \vec{a} | = 5$ ，那么 $\vec{a} =$ $($ 用向量 $\vec{e}$ 的式子表示 $)$ ．

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9. 如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的对应中线的比为.

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10. 如果抛物线 $y = x^{2} + x + m - 2$ 经过原点，那么 $m$ 的值等于．

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11. 抛物线 $y = 3 x^{2} - 1$ 在 $y$ 轴右侧的部分是 $. ($ 填“上升”或“下降” $)$

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12. 将抛物线y=x²向左平移1个单位后的抛物线表达式为．

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13. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，如果 $c o t A = 3$ ， $A C = 6$ ，那么 $B C =$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 上， $D E / / B C$ ， $E F / / A B$ ， $C F = 3 B F .$ 如果 $S_{△ A D E} = 1$ ，那么 $S_{四边形 D B C E} =$ ．

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15. 如图，河堤横断面迎水坡 $A B$ 的坡度是 $1$ ： $\sqrt{3}$ ， $A C = 10 m$ ，则坡面 $A B$ 的长度是 $m .$

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4 .$ 点 $H$ 、 $F$ 分别在边 $A D$ 、 $B C$ 上，点 $E$ 、 $G$ 在对角线 $A C$ 上.如果四边形 $E F G H$ 是菱形，那么线段 $A H$ 的长为．

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17. 如图，点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 内一点， $A B = 5$ ， $P B = 3$ ， $P A ⊥ P B .$ 如果将线段 $P B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ ，点 $P$ 的对应点为 $Q$ ，射线 $Q P$ 交边 $A D$ 于点 $E$ ，那么线段 $P E$ 的长为．

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18. 定义：如图 $1$ ，点 $M$ ， $N$ 把线段 $A B$ 分割成 $A M$ 、 $M N$ 和 $B N$ ，如果以 $A M$ 、 $M N$ 、 $N B$ 为边的三角形是一个直角三角形，那么称点 $M$ 、 $N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点 $.$ 问题：如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中，已知点 $D$ 、 $E$ 是边 $A B$ 的勾股分割点 $($ 线段 $A D > E B)$ ，射线 $C D$ 、 $C E$ 与射线 $A Q$ 分别交于点 $F$ 、 $G .$ 如果 $A Q / / B C$ ， $D E = 3$ ， $E B = 4$ ，那么 $A F$ ： $A G$ 的值为．

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三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算： $2 s i n 30 ° + c o s^{2} 45 ° - (t a n 30 °)^{- 1} + \sqrt{(1 - c o t 30 °)^{2}}$ ．

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $F$ 在边 $A D$ 上，射线 $B A$ 、 $C F$ 相交于点 $E$ ， $D F = 2 A F$ ．

(1)、求 $E A$ ： $A B$ 的值；

(2)、如果 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，试用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{C F}$ ．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D$ ， $B F$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ， $B C = 5$ ， $A D = 4$ ， $s i n C = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $s i n ∠ B A D$ 的值；

(2)、求线段 $E F$ 的长．

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22. 某校九年级数学兴趣小组在实践活动课中测量路灯的高度 $.$ 如图，在 $A$ 处测得路灯顶端 $O$ 的仰角为 $26.6 °$ ，再沿 $A H$ 方向前行 $13$ 米到达点 $B$ 处，在 $B$ 处测得路灯顶端 $O$ 的仰角为 $63.4 °$ ，求路灯顶端 $O$ 到地面的距离 $O H ($ 点 $A$ 、 $B$ 、 $H$ 在一直线上 $)$ 的长 $. ($ 精确到 $0.1$ 米 $)$
$($ 参考数据： $s i n 26.6 ° \approx 0.45$ ， $c o s 26.6 ° \approx 0.89$ ， $t a n 26.6 ° \approx 0.50$ ， $s i n 63.4 ° \approx 0.89$ ， $c o s 63.4 ° \approx 0.45$ ， $t a n 63.4 ° \approx 2.0)$

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23. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $B C$ 、 $A C$ 上， $A D$ 、 $B E$ 相交于点 $F$ ， $∠ A F E = ∠ A B C$ ， $A B^{2} = A E \cdot A C$ ．

(1)、求证： $△ A B F$ ∽ $△ B C E$ ；

(2)、求证： $D F \cdot B C = D B \cdot C E$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B (2 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求该抛物线的表达式及点 $C$ 的坐标；

(2)、已知点 $P (1 ， m)$ 与点 $Q$ 都是抛物线上的点．
$①$ 求 $t a n ∠ P B C$ 的值；
$②$ 如果 $∠ Q B P = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $B C = 8$ ，动点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $B A$ 、 $B C$ 上，且 $\frac{B D}{C E} = \frac{5}{4}$ ，设 $B D = 5 t .$ 过点 $B$ 作 $B F / / A C$ ，与直线 $D E$ 相交于点 $F$ ．

(1)、当 $D B = D E$ 时，求 $t$ 的值；

(2)、当 $t = \frac{2}{5}$ 时，求 $\frac{F B}{A C}$ 的值；

(3)、当 $△ B D E$ 与 $△ B D F$ 相似时，求 $B F$ 的长．

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