北京市延庆区2023年中考一模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨.据报道，长征二号F运载火箭的重量大约是500000kg.将数据500000用科学记数法表示，结果是（）

A、5×10⁵ B、5×10⁶ C、0.5×10⁵ D、0.5×10⁶

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3. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别 $.$ 从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $a = b$ C、 $a < b$ D、 $a = - b$

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6. 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）

A、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ B、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 $(a b)^{2} = a^{2} b^{2}$

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7. 如图是作线段 $A B$ 垂直平分线的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $A C = B C$
B、 $A E = E B$
C、 $∠ B = 45 °$
D、 $A B ⊥ C D$

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8. 如图，用绳子围成周长为 $10 m$ 的矩形，记矩形的一边长为 $x m$ ，它的邻边长为 $y m .$ 当 $x$ 在一定范围内变化时， $y$ 随 $x$ 的变化而变化，则 $y$ 与 $x$ 满足的函数关系是（）

A、一次函数关系 B、二次函数关系 C、正比例函数关系 D、反比例函数关系

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二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 若 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．

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10. 分解因式： $3 m^{2} - 3 n^{2}$ =

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11. 方程组 ${\begin{array}{l} x + y = - 1 \\ 2 x - 3 y = 8 \end{array}$ 的解为．

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12. 如图， $⊙ O$ 的弦 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $P .$ 若 $∠ A = 48 °$ ， $∠ A P D = 80 °$ ，则 $∠ B =$ $° .$

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，且 $D E / / B C$ ，若 $A D = 2$ ， $D B = 3$ ， $△ A D E$ 的面积是 $2$ ，则 $△ A B C$ 的面积是．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $A (3 ， 1)$ ， $B (1 ， 2) .$ 将 $△ A B C$ 向左平移 $3$ 个单位得到 $△ A' B' C'$ ，再向下平移 $1$ 个单位得到 $△ A ″ B ″ C ″$ ，则点 $B$ 的对应点 $B ″$ 的坐标为．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，且 $y_{1} > y_{2}$ ，请你写出一个符合要求的 $k$ 的值．

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16. 甲、乙两种物质的溶解度 $y (g)$ 与温度 $t (℃)$ 之间的对应关系如图所示，下列说法中，
$①$ 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大；
$②$ 当温度升高至 $t_{2} ℃$ 时，甲的溶解度比乙的溶解度小；
$③$ 当温度为 $0 ℃$ 时，甲、乙的溶解度都小于 $20 g$ ；
$④$ 当温度为 $30 ℃$ 时，甲、乙的溶解度相同．
所有正确结论的序号是．

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三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）

17. 计算： $| - 3 | - 2 t a n 60 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{12}$ ．

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 1 > x + 1 \\ \frac{4 x - 5}{3} \leq x \end{array}$

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四、解答题（本大题共10小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 已知 $x^{2} + x - 3 = 0$ ，求代数式 $(2 x + 3) (2 x - 3) - x (x - 3)$ 的值．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + m - 1 = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、如果方程有一个根为正数，求 $m$ 的取值范围．

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ， $∠ B A C = 90 ° .$ 点 $M$ 为边 $A D$ 的中点，连接 $C M$ 并延长，交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证：四边形 $A C D E$ 是矩形；

(2)、若 $B E = 10$ ， $D E = 12$ ，求四边形 $B C D E$ 的面积．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象由正比例函数 $y = \frac{1}{2} x$ 的图象平移得到，且经过点 $(2 ， 3)$ ．

(1)、求 $k$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $x < 2$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = m x - 2 (m \neq 0)$ 的值小于一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

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23. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $O D ⊥ O C$ ，且 $∠ A D O = ∠ B O C$ ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$ ， $A D = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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24. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一

.

实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分

.

如图所示，建立平面直角坐标系

x O y

，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度

y (

单位：

m)

与水平距离

x (

单位：

m)

近似满足函数关系

y = a (x - h)^{2} + k (a < 0)

．

小明训练时，实心球的水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据如下：

水平距离 $x / m$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
竖直高度 $y / m$	$1.8$	$2.43$	$2.88$	$3.15$	$3.24$	$3.15$

根据上述数据，解决下列问题：

(1)、直接写出实心球竖直高度的最大值是；

(2)、求出满足的函数关系

y = a (x - h)^{2} + k (a < 0)

；

(3)、求实心球从出手到落地点的水平距离．

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25. 为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动 $.$ 为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛 $($ 百分制 $)$ ，并规定 $90$ 分及以上为优秀， $80 ～ 89$ 分为良好， $60 ～ 79$ 分为及格， $59$ 分及以下为不及格 $.$ 学校随机抽取了七、八年级各 $20$ 名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．
$a .$ 抽取七年级 $20$ 名学生的成绩如下：
$66 ， 87 ， 57 ， 96 ， 79 ， 67 ， 89 ， 97 ， 77 ， 100 ， 80 ， 69 ， 89 ， 95 ， 58 ， 98 ， 69 ， 78 ， 80 ， 89$
$b .$ 抽取七年级 $20$ 名学生成绩的频数分布直方图如图 $1$ ：
$($ 数据分成 $5$ 组： $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100)$
$c .$ 抽取八年级 $20$ 名学生成绩的扇形统计图 $2$ ：
$d .$ 七年级、八年级各抽取的 $20$ 名学生成绩的平均数、中位数如表：

年级
平均数
中位数
七年级
          $81$
          $a$
八年级
          $82$
          $81$
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、补全七年级 $20$ 名学生成绩的频数分布直方图，写出表中 $a$ 的值；

(2)、该校八年级有学生 $200$ 人，估计八年级测试成绩达到优秀的学生有多少人？

(3)、在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为 $m$ ；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为 $n .$ 比较 $m$ ， $n$ 的大小，并说明理由．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (4 ， m)$ 在抛物线 $y = x^{2} - 2 b x + 1$ 上．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $b$ 的值；

(2)、点 $(x_{0} ， n)$ 在抛物线上，若存在 $0 < x_{0} < b$ ，使得 $m = n$ ，直接写出 $b$ 的取值范围．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的高，点 $E$ 是边 $A B$ 上的一动点 $($ 不与点 $A$ ， $B$ 重合 $)$ ，连接 $C E$ 交 $A D$ 于点 $F .$ 将线段 $C F$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $C G$ ，连接 $A G$ ．

(1)、如图 $1$ ，当 $C E$ 是 $∠ A C B$ 的角平分线时，
$①$ 求证： $A E = A F$ ；
$②$ 直接写出 $∠ C A G =$ $° .$

(2)、依题意补全图 $2$ ，用等式表示线段 $A F$ ， $A C$ ， $A G$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为 $2 .$ 对于线段 $A B$ 和点 $C ($ 点 $C$ 不在直线 $A B$ 上 $)$ ，给出如下定义：过点 $C$ 作直线 $A B$ 的平行线 $l$ ，如果线段 $A B$ 关于直线 $l$ 的对称线段 $A' B'$ 是 $⊙ O$ 的弦，那么线段 $A B$ 称为 $⊙ O$ 的点 $C$ 对称弦．

(1)、如图， $D (- 2 ， 6)$ ， $E (2 ， 6)$ ， $F (- 3 ， 1)$ ， $G (- 1 ， 3)$ ， $H (0 ， 3)$ ，在线段 $D E$ ， $F G$ 中， $⊙ O$ 的点 $H$ 对称弦是；

(2)、等边 $△ A B C$ 的边长为 $1$ ，点 $C (0 ， t) .$ 若线段 $A B$ 是 $⊙ O$ 的点 $C$ 对称弦，求 $t$ 的值；

(3)、点 $M$ 在直线 $y = \sqrt{3} x$ 上， $⊙ M$ 的半径为 $1$ ，过点 $M$ 作直线 $y = \sqrt{3} x$ 的垂线，交 $⊙ M$ 于点 $P$ ， $Q .$ 若点 $N$ 在 $⊙ M$ 上，且线段 $P Q$ 是 $⊙ O$ 的点 $N$ 对称弦，直接写出点 $M$ 的横坐标 $m$ 的取值范围．

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年级	平均数	中位数
七年级	$81$	$a$
八年级	$82$	$81$