北京市通州区2023年2023年中考一模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形： $(1)$ 线段； $(2)$ 角； $(3)$ 等边三角形； $(4)$ 平行四边形 $.$ 其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 $(1)$ B、 $(2)$ C、 $(3)$ D、 $(4)$

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2. $2023$ 年 $1$ 月国家统计局网站数据显示， $2022$ 年全国居民人均消费支出 $24538$ 元，将 $24538$ 用科学记数法表示（）

A、 $0.24538 \times 1 0^{6}$ B、 $2.4538 \times 1 0^{5}$ C、 $2.4538 \times 1 0^{4}$ D、 $2.4538 \times 1 0^{3}$

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3. 如图，一副三角板拼成如图所示图形，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $75 °$ B、 $60 °$ C、 $105 °$ D、 $120 °$

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4. 正七边形的外角和为（）

A、 $1080 °$ B、 $900 °$ C、 $720 °$ D、 $360 °$

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5. 如图是某个几何体的表面展开图，则这个几何体是（）

A、长方体 B、三棱柱 C、三棱锥 D、四棱锥

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6. 点 $M$ ， $N$ 在数轴上的位置如图所示，点 $M$ ， $N$ 表示的有理数为 $a$ ， $b .$ 如果 $a b < 0$ ， $a + b > 0$ ，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（）

A、原点 $O$ 在点 $M$ 左侧 B、原点 $O$ 在点 $N$ 的右侧 C、原点 $O$ 在点 $M$ 、 $N$ 之间，且 $| O M | > | O N |$ D、原点 $O$ 在点 $M$ 、 $N$ 之间，且 $| O M | < | O N |$

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7. 如图 $1$ ，一个均匀的转盘被平均分成 $10$ 等份，分别标有 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ， $7$ ， $8$ ， $9$ ， $10 .$ 小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字，图 $2$ ，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是（）

A、转动转盘后，出现偶数 B、转动转盘后，出现能被 $3$ 整除的数
C、转动转盘后，出现比 $6$ 大的数 D、转动转盘后，出现能被 $5$ 整除的数

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8. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $O C D E$ 是一个矩形，小球 $P$ 从点 $A (2 ， 6)$ 出发沿直线向点 $B$ 运动，到达点 $B$ 时被第一次反弹，每当小球 $P$ 沿直线运动碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球 $P$ 第 $100$ 次碰到矩形的边时，小球 $P$ 所在位置的坐标为（）

A、 $(4 ， 0)$ B、 $(8 ， 6)$ C、 $(5 ， 12)$ D、 $(12 ， 4)$

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二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 若代数式 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 有意义，那么 $x$ 的取值范围是．

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10. 分解因式 $2 x^{2} - 8 x + 8 =$ ．

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11. 已知 $n$ 为整数，且 $\sqrt{7} < n < \sqrt{10}$ ，则 $n$ 等于．

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12. 方程 $\frac{1}{x} = \frac{2}{3 x - 3}$ 的解是．

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13. 由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值 $R ($ 始终保持 $R > 0)$ ，发现通过滑动变阻器的电流 $I$ 与滑动变阻器的电阻 $R$ 成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过 $4 A$ ，则滑动变阻器阻值的范围是．

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14. 为探究浸种处理对花生种子萌发率的影响，九年级的生物小组同学取

1000

粒花生种子完成实验

.

同学们将

1000

粒花生种子平均分成五组，获得如下花生种子萌发量数据，如表格．

组别处理	花生种子萌发量 $($ 单位：粒 $)$
组别处理	第 $1$ 组	第 $2$ 组	第 $3$ 组	第 $4$ 组	第 $5$ 组
浸种 $24$ 小时、 $25 ℃$	$186$	$180$	$180$	$176$	$178$

在温度 $25 ℃$ 的条件下，将 $5000$ 粒种子浸种 $24$ 小时，萌发量大致为粒 $.$

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15. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 4$ ，将一个直角尺 $M O N$ 的直角顶点 $O$ 与 $B C$ 边上的中点 $D$ 重合，并绕点 $D$ 旋转，分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，如果四边形 $A E D F$ 恰巧是正方形，则 $B E$ 的长度为．

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16. 某学校带领 $150$ 名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用 $A$ ， $B$ ， $C$ 三种型号客车去农场，其中 $A$ ， $B$ ， $C$ 三种型号客车载客量分别为 $40$ 人、 $30$ 人、 $10$ 人，租金分别为 $700$ 元、 $500$ 元、 $200$ 元 $.$ 为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是元 $.$

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三、解答题（本大题共12小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算： $(\frac{1}{2})^{- 1} + (2023 - \sqrt{3})^{0} - \sqrt{12} + 6 t a n 30 °$ ．

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} \leq \frac{x + 1}{4} \\ 2 (x + 1) > 3 x + 1 \end{array}$ ．

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19. 先化简，再求值：已知 $3 x^{2} + x + 1 = 0$ ，求 $(x + 1) (x - 2) - (3 + 2 x) (2 x - 3)$ 的值．

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20. 如图，在四边形

A B C D

中，

A B / / C D

，

A B = B D = 2 C D

，

E

为

A B

的中点，请你用无刻度的直尺
在图中画

△ A B D

的边

A D

上的高线

.

小蕊的画法如下

.

请你按照小器的画法完成画图，并填写证明的依据．

画法：
$①$ 连接 $E D$ ，
$②$ 连接 $C E$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ，
$③$ 连接 $A F$ ，交 $D E$ 于点 $P$ ，
$④$ 作射线 $B P$ ，交 $A D$ 于点 $H$ ，
$∴ B H$ 即为所求 $△ A B D$ 的边 $A D$ 上的高线
证明：
$∵ A B = 2 C D$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，
$∴ B E = C D$ ．
$∵ A B / / C D$ ，
$∴$ 四边形 $E B C D$ 是平行四边形．     ▲   ．
$∴$ 点 $F$ 是 $B D$ 中点．     ▲   ．
$∴ A F$ 、 $D E$ 是 $△ A B D$ 的中线．
$∴ B H$ 是 $△ A B D$ 的中线．
$∵ A B = B D$ ，
$∴ B H$ 是 $A D$ 边上的高线．     ▲   ．

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21. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 中点，连接 $C D$ ， $D E$ ，延长 $D E$ 到点 $F$ ，使得 $E F = D E$ ，连接 $A F$ ， $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A F C D$ 是菱形；

(2)、如果 $s i n ∠ C A F = \frac{3}{5}$ ，且 $A C = 8$ ，求 $A B$ 的长．

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22. 如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 的图象 $l_{1}$ 分别与 $x$ ， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，正比例函数 $y = k x$ 的图象 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 交于点 $C (m ， 4)$ ．

(1)、求 $m$ 的值及 $l_{2}$ 的表达式；

(2)、一次函数 $y = n x + 1$ 的图象为 $l_{3}$ ，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 三条直线不能围成三角形，直接写出所有满足条件的 $n$ 的值．

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23. 北极海冰是地球系统的重要组成部分，其变化可作为全球气候变化的重要指示器 $.$ 为了应对全球气候问题，科学家运用卫星遥感技术对北极海冰覆盖面积的变化情况进行监测，根据对多年的数据进行整理、描述和分析，形成了如下信息：
$a$ 、 $1961 - 2020$ 年间北极海冰年最低覆盖面积变化的频数分布直方图如下所示： $($ 数据分成 $8$ 组： $3 \leq x < 4$ ， $4 \leq x < 5$ ， $5 \leq x < 6$ ， $6 \leq x < 7$ ， $7 \leq x < 8$ ， $8 \leq x < 9$ ， $9 \leq x < 10$ ， $10 \leq x < 11)$

$b$ 、 $1961 - 2020$ 年间北极海冰年最低覆盖面积的数据在 $8 \leq x < 9$ 这一组的是： $8.0$ ， $8.2$ ， $8.2$ ， $8.3$ ， $8.3$ ， $8.5$ ， $8.6$ ， $8.6$ ， $8.6$ ， $8.7$ ， $8.8$

(1)、写出 $1961 - 2020$ 年间北极海冰年最低覆盖面积的中位数是     ▲    $(1 0^{6}$ 平方千米 $)$ ；

(2)、北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是     ▲  年 $.$

(3)、请参考反映 $1961 - 2020$ 年间北极海冰年最低覆盖面积变化的折线图，解决以下问题：
$①$ 记北极地区 $1961 - 1990$ 年北极海冰年最低覆盖面积的方差为 $s_{1}^{2}$ ， $1991 - 2020$ 年北极海冰年最低覆盖面积的方差为 $s_{2}^{2}$ ，请直接判断 $s_{1}^{2}$      ▲    $s_{2}^{2}$ 的大小关系 $($ 填写“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ” $)$ ；
$②$ 根据 $2000$ 年以后北极海冰年最低覆盖面积的相关数据，推断全球气候发生了怎样的变化？在你的生活中应采取哪些措施应对这一变化？

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24. 如图， $△ A B C$ 是圆内接三角形，过圆心 $O$ 作 $O E ⊥ A C$ ，连接 $O A$ ， $O C$ ，过点 $C$ 作 $C D / / A O$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $D$ ， $∠ C O E = 45 °$ ．

(1)、求证： $D C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如果 $B C \cdot C F = 8$ ，求 $⊙ O$ 半径的长度．

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25. 如图，

O C

是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口

C

离地面垂直高度为

1.5

米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．

(1)、灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点

B

，此时，喷水口

C

喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表．

水平距离 $x /$ 米	$0$	$0.6$	$1$	$2$	$3$	$4$
竖直高度 $y /$ 米	$1.5$	$1.71875$	$1.875$	$2$	$1.875$	$1.5$

结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程 $O B$ 的长度．

(2)、为了全面灌溉，喷水口

C

可以喷出不同射程的水流，喷水口

C

喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式

y = a (x - \frac{2}{3})^{2} + h

，此水流最大射程

O E = 2

米，求此水流距离地面的最大高度．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $(- 1 ， n)$ ， $(2 ， p)$ 在二次函数 $y = - x^{2} + b x + 2$ 的图象上．

(1)、当 $n = p$ 时，求 $b$ 的值；

(2)、当 $(2 - n) (n - p) > 0$ ，求 $b$ 的取值范围．

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27. 直线 $M O$ 是线段 $A B$ 的垂直平分线，垂足为点 $O$ ，点 $C$ 是直线 $O M$ 上一点，连接 $A C .$ 以 $A C$ 为斜边作等腰直角 $△ A C D$ ，连接 $O D$ ．

(1)、如图 $1$ ，若 $C O = A B$ ，求 $∠ A O D$ 的度数；

(2)、如图 $2$ 所示，点 $E$ 是射线 $M O$ 上一点，且 $C E = A B$ ，连接 $D E$ ，延长 $D O$ 至点 $F$ ，使得 $O F = O D$ ，连接 $A F$ ，根据题意补全图 $2$ ，写出线段 $D E$ ， $A F$ 之间的关系，并证明．

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28. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ，给出如下定义：作直线 $l$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 边于点 $M$ ， $N$ ，点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $A'$ ，则称 $A'$ 为等腰直角 $△ A B C$ 关于直线 $l$ 的“直角对称点” $. ($ 点 $M$ 可与点 $B$ 重合，点 $N$ 可与点 $C$ 重合 $)$

(1)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0 ， 2)$ ， $B (2 ， 0)$ ，直线 $l$ ： $y = k x + 1$ ， $O'$ 为等腰直角 $△ A O B$ 关于直线 $l$ 的“直角对称点”．
$①$ 当 $k = - 1$ 时，写出点 $O'$ 的坐标；
$②$ 连接 $B O'$ ，求 $B O'$ 长度的取值范围；

(2)、 $⊙ O$ 的半径为 $10$ ，点 $M$ 是 $⊙ O$ 上一点，以点 $M$ 为直角顶点作等腰直角 $△ M P Q$ ，其中 $M P = 2$ ，直线 $l$ 与 $M P$ 、 $M Q$ 分别交于 $E$ 、 $F$ 两点，同时 $M'$ 为等腰直角 $△ M P Q$ 关于直线 $l$ 的“直角对称点”，连接 $O M'$ ，当点 $M$ 在 $⊙ O$ 上运动时，直接写出 $O M'$ 长度的最大值与最小值．

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