甘肃省平凉市2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $\sqrt{27}$ D、 $\sqrt{a^{3}}$

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2. 下列设计图中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在平面直角坐标系中，点 $P (- 2 ， x^{2} + 1)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 一元一次不等式组 ${\begin{matrix} 2 x + 1 > 0 \\ x - 5 \leq 0 \end{matrix}$ 的解集中，整数解的个数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 如图，数轴上的点 $A$ ， $B$ ， $O$ ， $C$ ， $D$ 分别表示数 $- 2$ ， $- 1$ ， $0$ ， $1$ ， $2$ ，则表示数 $2 - \sqrt{5}$ 的点 $P$ 应落在（）

A、线段 $A B$ 上 B、线段 $B O$ 上 C、线段 $O C$ 上 D、线段 $C D$ 上

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6. 下列命题是真命题的是（）

A、中位数就是一组数据中最中间的一个数
B、一组数据的众数可以不唯一
C、已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $R t △ A B C$ 的三条边，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$
D、邻边相等的平行四边形是矩形

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7. 若单项式 $2 x^{2} y^{a + b}$ 与 $3 x^{a - b} y^{4}$ 是同类项，则 $a$ ， $b$ 的值分别是（）

A、 $a = 3$ ， $b = 1$ B、 $a = - 3$ ， $b = 1$
C、 $a = 3$ ， $b = - 1$ D、 $a = - 3$ ， $b = - 1$

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8. 如图，有一张直角三角形纸片ABC，两条直角边AC=5，BC= 10，将△ABC折叠，使点A和点B重合，折痕为DE，则CD的长为（）

A、1.8 B、2.5 C、3 D、3.75

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9. 如图， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是圆 $O$ 上的三点，且四边形 $A B C O$ 是平行四边形， $O F ⊥ O C$ 交圆 $O$ 于点 $F$ ，则 $∠ A O F$ 等于（）

A、 $15 °$
B、 $30 °$
C、 $45 °$
D、 $60 °$

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10. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，现给以下结论：
$① a b c < 0$ ；
$② c + 2 a < 0$ ；
$③ 9 a - 3 b + c = 0$ ；
$④ a - b \geq m (a m + b) (m$ 为实数 $)$ ；
$⑤ 4 a c - b^{2} < 0$ ．
其中错误结论的个数有（）

A、 $1$ 个
B、 $2$ 个
C、 $3$ 个
D、 $4$ 个

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二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11. $\sqrt{9} - 3^{- 1} =$ ．

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12. 港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米.数字55000用科学记数法表示为.

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13. 若 $m$ 是方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的一个根，则 $6 m^{2} - 9 m + 2023$ 的值为．

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14. 在一个不透明的盒子中装有除颜色外其他完全相同的若干红球和 $6$ 个白球 $.$ 若每次将球充分搅匀后，任意摸出 $1$ 个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在 $20 %$ 左右，则红球的个数约为．

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15. 若关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + x + 1 = 0$ 有两个实数根，则k的取值范围是．

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16. 如图， $A B / / D E$ ，若 $A C = 4$ ， $B C = 2$ ， $D C = 1$ ，则 $E C =$ ．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，若 $B C = 4 \sqrt{2} c m$ ，则图中阴影部分的面积为 $c m^{2}$ ．

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18. 在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数 $(n)$ 和芍药的数量规律，那么当 $n = 10$ 时，芍药的数量为株 $.$

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三、计算题

19. 解方程： $\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x} = 1$ ．

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四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 化简： $(a + 3)^{2} - (a + 1) (a - 1) - 2 (2 a + 4)$ ．

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21. 如图， $C M$ 平分 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C E$ ．

(1)、尺规作图：作 $∠ A B C$ 的角平分线 $B P$ ，交 $C M$ 于点 $P ($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$ ；

(2)、若 $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ B P C =$ ．

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22. 图 $1$ 是一种淋浴喷头，图 $2$ 是图 $1$ 的示意图，若用支架把喷头固定在点 $A$ 处，手柄长 $A B = 25 c m$ ， $A B$ 与墙壁 $D D'$ 的夹角 $∠ D' A B = 37 °$ ，喷出的水流 $B C$ 与 $A B$ 形成的夹角 $∠ A B C = 72 °$ ，现在住户要求：当人站在 $E$ 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的 $C$ 处，且使 $D E = 50 c m$ ， $C E = 130 c m .$ 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
$($ 参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $s i n 72 ° \approx 0.95$ ， $c o s 72 ° \approx 0.31$ ， $t a n 72 ° \approx 3.08$ ， $s i n 35 ° \approx 0.57$ ， $c o s 35 ° \approx 0.82$ ， $t a n 35 ° \approx 0.70)$ ．

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23. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．

(1)、八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；

(2)、试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

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24. 随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式

.

某社区为了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．

组别	家庭年旅游消费金额 $x /$ 元	户数
$A$	$0 < x \leq 5000$	$36$
$B$	$5000 < x \leq 10000$	$27$
$C$	$10000 < x \leq 15000$	$m$
$D$	$15000 < x \leq 20000$	$33$
$E$	$x > 20000$	$30$

请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次被调查的家庭有户，表中

m =

．

(2)、本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由．

(3)、在扇形统计图中，

D

组所对应扇形的圆心角是多少度？

(4)、若该社区有

3000

户家庭，请你估计年旅游消费在

10000

元以上的家庭户数．

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25. 如图，一次函数 $y = - x + 3$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限的图象交于 $A (1 ， a)$ 和 $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、若点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $△ A P C$ 的面积为 $5$ ，求点 $P$ 的坐标．

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26. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 与弦 $C D$ 相交于点 $G$ ， $O A ⊥ C D$ 于点 $E$ ，过点 $B$ 的直线与 $C D$ 的延长线相交于点 $F$ ．

(1)、若 $∠ F G B = ∠ F B G$ ，求证： $B F$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、连接 $A C$ ，若 $∠ A C E = 30 °$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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27.

(1)、建立模型：如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，探究图中线段 $B E$ ， $E F$ ， $F D$ 之间的数量关系 $.$ 小王同学探究此问题的方法是将 $△ A B E$ 绕 $A$ 点逆时针旋转 $90 °$ 使得 $B$ 与 $D$ 重合，连接 $A G$ ，由此得到 $B E =$ ，再证明 $△ A F E$ ≌ $△$ ，可得出线段 $B E$ ， $E F$ ， $F D$ 之间的数量关系为．

(2)、拓展延伸：如图 $2$ ，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，点 $G$ ， $H$ 在边 $A C$ 上，且 $∠ G B H = 45 °$ ，写出图中线段 $A G$ ， $G H$ ， $C H$ 之间的数量关系并证明．

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28. 如图，在平面直角坐标系中， $R t △ A B C$ 的边 $B C$ 在 $x$ 轴上， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A$ 为顶点的抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $C (3 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $E (0 ， 3)$ ，动点 $P$ 在对称轴上．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、若点 $P$ 从 $A$ 点出发，沿 $A \to B$ 方向以 $1$ 个单位长度 $/$ 秒的速度匀速运动到点 $B$ 停止，设运动时间为 $t$ 秒，过点 $P$ 作 $P D ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 且平行于 $y$ 轴的直线 $l$ 交抛物线于点 $Q$ ，连接 $A Q$ ， $C Q$ ，当 $t$ 为何值时， $△ A C Q$ 的面积最大？最大值是多少？

(3)、抛物线上是否存在点 $M$ ，使得以点 $P$ ， $M$ ， $E$ ， $C$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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