甘肃省酒泉市2023年中考一模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期， $- 0.5$ 的相反数是（）

A、 $0.5$ B、 $\pm 0.5$ C、 $- 0.5$ D、 $5$

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2. 可燃冰是一种新型能源，它的密度很小， $1 c m^{3}$ 可燃冰的质量仅为 $0.00092 k g .$ 数字 $0.00092$ 用科学记数法表示是（）

A、 $9 \times 1 0^{- 4}$ B、 $92 \times 1 0^{- 3}$ C、 $9.2 \times 1 0^{- 3}$ D、 $9.2 \times 1 0^{- 4}$

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3. 下列运算中，正确的是（）

A、 $3 a^{2} + 2 a^{2} = 5 a^{4}$ B、 $a^{9} \div a^{3} = a^{3}$
C、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ D、 $(- 3 x^{2})^{3} = - 27 x^{6}$

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4. 如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）

A、平移 B、轴对称 C、旋转 D、位似

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5. 如图，在数轴上标注了四段范围，则表示 $1 + \sqrt{15}$ 的点落在（）

A、第 $1$ 段 B、第 $2$ 段 C、第 $3$ 段 D、第 $4$ 段

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6. 在某县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为（单位：分）：95、97、97、96、98、99，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（）

A、众数为95 B、极差为3 C、平均数为96 D、中位数为97

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7. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（）

A、28° B、30° C、36° D、56°

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ， $∠ C = 90 °$ ，以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧，与 $A B$ 交于点 $D$ ，再分别以 $A$ 、 $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $M$ 、 $N$ ，作直线 $M N$ ，分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点 $E$ 、 $F$ ，则 $A E$ 的长度为（）

A、 $\frac{5}{2}$
B、 $3$
C、 $2 \sqrt{2}$
D、 $\frac{10}{3}$

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9. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有 $x$ 个，甜果有 $y$ 个，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{4}{7} x + \frac{11}{9} y = 999 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{7}{4} x + \frac{9}{11} y = 999 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ 7 x + 9 y = 999 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ 4 x + 11 y = 999 \end{array}$

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10. 如图 $1$ ，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $P$ 沿 $A \to B \to C$ 方向从点 $A$ 移动到点 $C$ ，设点 $P$ 移动路程为 $x$ ，线段 $A P$ 的长为 $y$ ，图 $2$ 是点 $P$ 运动时 $y$ 随 $x$ 变化的关系图象，则 $B C$ 的长为（）

A、 $4.4$ B、 $4.8$ C、 $5$ D、 $6$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 分解因式： $a^{3} - a b^{2}$ =.

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12. 一副三角板如图摆放，直线 $A B / / C D$ ，则 $∠ α$ 的度数是．

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13. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将 $6$ 种生活现象制成看上去无差别的卡片 $($ 如图 $) .$ 从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，边 $B C$ 的垂直平分线 $D E$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $D C$ ，若 $A B = 3.7$ ， $A C = 2.3$ ，则 $△ A D C$ 的周长是．

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15. 若 $(a - 3)^{2} + \sqrt{b - 5} = 0$ ，则以 $a$ 、 $b$ 为边长的等腰三角形的周长为．

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16. 如图是第四套人民币 $1$ 角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 $° .$

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17. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 有实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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18. 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (k>0，x>0)的图象上，点B的坐标为(4，3)，AB与y轴平行，若AB=BC，则k= ．

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三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

19. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sqrt{9} + 3 t a n 30 ° + | \sqrt{3} - 2 |$ ．

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四、解答题（本大题共9小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 先化简，再求值： $(\frac{2 x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1} - \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{x}{x + 1}$ ，其中 $x = 1 + \sqrt{2}$ .

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B / / D C$ ， $A B = B C$ ， $A D ⊥ D C$ 于点 $D$ ．

(1)、用尺规作 $∠ A B C$ 的角平分线，交 $C D$ 于点 $E$ ； $($ 不写作法，保留作图痕迹 $)$

(2)、连接 $A E .$ 求证：四边形 $A B C E$ 是菱形．

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22. 为传承酒泉文明、弘扬民族精神

.

某校“综合与实践”小组开展了测量鼓楼

(

如图

①)

高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告，测量鼓楼高度的实践报告：

活动课题	测量鼓楼高度
活动目的	运用三角函数知识解决实际问题
活动工具	测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图		测量步骤	如图 $②$ $(1)$ 利用测角仪站在 $B$ 处测得城门楼最高点 $P$ 的仰角为 $39 °$ ； $(2)$ 前进了 $14$ 米到达 $A$ 处 $($ 选择测点 $A$ ， $B$ 与 $O$ 在同一水平线上， $A$ ， $B$ 两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计 $)$ ，在 $A$ 处测得 $P$ 点的仰角为 $56 °$ ．
参考数据	$s i n 39 ° \approx 0.6$ ， $c o s 39 ° \approx 0.8$ ， $t a n 39 ° \approx 0.8$ ， $s i n 56 ° \approx 0.8$ ， $c o s 56 ° \approx 0.6$ ， $t a n 56 ° \approx 1.5$ ．
计算鼓楼 $P O$ 的高度 $($ 结果保留整数 $)$

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23. 已知甲袋中有 $2$ 个红球， $1$ 个白球，乙袋中有 $1$ 个红球， $1$ 个白球，从甲、乙两袋中各摸出 $1$ 个球，摸出的两个球都是红球的概率是多少？琪琪给出了下面的解题过程，请判断琪琪的解题过程是否正确，如不正确，请写出正确的解题过程 $.$ 琪琪的解法：用树状图列出所有可能的结果如图所示；从树状图可以看出一共有 $4$ 种等可能的结果，其中两个球都是红球的结果有 $1$ 种，所以摸出的两个球都是红球的概率为 $\frac{1}{4}$ ．

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24. 为了了解学生在一年中的课外阅读量，九 $(1)$ 班对九年级 $800$ 名学生采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查的结果分为四种情况： $A . 10$ 本以下； $B . 10 — 15$ 本； $C . 16 — 20$ 本； $D . 20$ 本以上 $.$ 根据调查结果统计整理并制作了如图所示的两幅统计图表：
各种情况人数统计频数分布表
课外阅读情况 A B C D
频数 20 x y 40

(1)、表中 $x$ ， $y$ 的值分别为： $x =$ ， $y =$ ；

(2)、在扇形统计图中， $C$ 部分所对应的扇形的圆心角是度；

(3)、根据抽样调查结果，请估计九年级学生一年阅读课外书 $20$ 本以上的学生人数．

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25. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x < 0)$ 的图象相交于点 $A (- 1 ， 2)$ 点 $B (- 4 ， n)$ ．

(1)、求此一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、如图所示，请直接写出不等式 $k_{1} x + b \geq \frac{k_{2}}{x}$ 的解集；

(3)、在 $x$ 轴上存在一点 $P$ ，使 $△ P A B$ 的周长最小，求点P的坐标.

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26. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，AC是 $⊙ O$ 的弦，AD平分∠CAB交 $⊙ O$ 于点D，过点D作 $⊙ O$ 的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．

(1)、求证： $A F ⊥ E F$ ；

(2)、若 $C F = 1$ ， $A C = 2$ ， $A B = 4$ ，求BE的长．

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27.

(1)、感知：如图 $①$ ，四边形 $A B C D$ 和 $C E F G$ 均为正方形， $B E$ 与 $D G$ 的数量关系为；

(2)、拓展：如图 $②$ ，四边形 $A B C D$ 和 $C E F G$ 均为菱形，且 $∠ A = ∠ F$ ，请判断 $B E$ 与 $D G$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、应用：如图 $③$ ，四边形 $A B C D$ 和 $C E F G$ 均为菱形，点 $E$ 在边 $A D$ 上，点 $G$ 在 $A D$ 延长线上 $.$ 若 $A E = 2 E D$ ， $∠ A = ∠ F$ ， $△ E B C$ 的面积为 $8$ ，求菱形 $C E F G$ 的面积．

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28. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点 $A$ 处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡 $B C$ 上的点 $P$ 处．腾空点 $A$ 到地面 $O B$ 的距离 $O A$ 为 $70 m$ ，坡高 $O C$ 为 $60 m$ ，着陆坡 $B C$ 的坡度 $($ 即 $t a n α)$ 为 $3$ ： $4 .$ 以 $O$ 为原点， $O B$ 所在直线为 $x$ 轴， $O A$ 所在直线为 $y$ 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点 $(4 ， 75)$ ， $(8 ， 78)$ ．

(1)、求这段抛物线表示的二次函数表达式；

(2)、在空中飞行过程中，求运动员到坡面 $B C$ 竖直方向上的最大距离；

(3)、落点 $P$ 与坡顶 $C$ 之间的距离为 $m .$

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各种情况人数统计频数分布表
课外阅读情况	A	B	C	D
频数	20	x	y	40