【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第7题

试卷更新日期：2023-10-09 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、原题

1. 已知 $α$ 为锐角， $c o s α = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} ，$ 则 $s i n \frac{α}{2} =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{8}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$

查看试题解析

二、基础

2. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $c o s α = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{12}{25}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

查看试题解析
3. 已知 $t a n α = 4$ ，则 $c o s 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{15}{17}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $- \frac{15}{17}$ D、 $- \frac{12}{13}$

查看试题解析
4. 若 $α$ 为锐角，且 $c o s (α + \frac{π}{12}) = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

查看试题解析
5. 已知 $θ$ 是第二象限角， $s i n (θ + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $- 7$

查看试题解析
6. 已知 $s i n 2 α = \frac{1}{4}$ ，则 $c o s^{2} (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $- \frac{5}{8}$

查看试题解析
7. 已知 $t a n (α - π) = 2$ ，则 $\frac{c o s 2 α}{1 + s i n 2 α} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
8. 在 $△ A B C$ 中，若 $B = 3 A$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(0 ， 3)$

查看试题解析
9. 已知 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π$ ， $c o s α = \frac{3}{5}$ ， $s i n β = \frac{12}{13}$ ，则 $c o s (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{63}{65}$ B、 $- \frac{33}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

查看试题解析
10. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 c o s 2 α + 11 = 16 c o s α$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{9}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$

查看试题解析
11. 若 $\frac{3 s i n α + 2 c o s α}{2 s i n α - c o s α} = \frac{8}{3}$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、-3 B、3 C、-2 D、2

查看试题解析
12. 若 $t a n α = \frac{c o s α}{3 - s i n α}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

查看试题解析
13. 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点 $P (c o s \frac{π}{8} - s i n \frac{π}{8} ， c o s \frac{π}{8} + s i n \frac{π}{8})$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

查看试题解析

三、提升

14. 已知 $θ$ 为钝角， $c o s 2 θ - s i n 2 θ = c o s^{2} θ$ ，则 $t a n 3 θ$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{8}{3}$ D、 $- \frac{2}{11}$

查看试题解析
15. 已知 $\frac{c o s 2 θ}{s i n (θ + \frac{π}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $s i n 2 θ =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = s i n (2 ω x + \frac{π}{6}) + 4 s i n^{2} ω x (ω \in N^{*})$ ，若关于x的方程 $f (x) = 2$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上有且只有一个解，则 $ω$ 为（）.

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

查看试题解析
17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 以x轴的非负半轴为始边，且点 $P (- 1 ， \sqrt{2})$ 在角 $α$ 的终边上，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
18. 数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点 $C$ 为半圆 $O$ 上一点， $C H ⊥ A B$ ，垂足为 $H$ ，记 $∠ C O B = θ$ ，则由 $t a n ∠ B C H = \frac{B H}{C H}$ 可以直接证明的三角函数公式是（）

A、 $t a n \frac{θ}{2} = \frac{s i n θ}{1 - c o s θ}$ B、 $t a n \frac{θ}{2} = \frac{s i n θ}{1 + c o s θ}$ C、 $t a n \frac{θ}{2} = \frac{1 - c o s θ}{s i n θ}$ D、 $t a n \frac{θ}{2} = \frac{1 + c o s θ}{s i n θ}$

查看试题解析
19. 已知 $t a n (α + β)$ ， $t a n (α - β)$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x - 4 = 0$ 的两根，且 $t a n α = \frac{2}{3}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、4 C、-12 D、 $- \frac{10}{3}$

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (2 x - \frac{π}{3}) - 2 c o s^{2} (x - \frac{π}{6}) + 1$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于x的方程 $g (x) = a$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 内的两根，则 $s i n (2 x_{1} + 2 x_{2}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3}{5}$

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = c o s ω x - \sqrt{3} s i n ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有 $3$ 个零点和 $2$ 条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{6} ， \frac{4}{3})$ B、 $[\frac{13}{12} ， \frac{19}{12})$ C、 $[\frac{4}{3} ， \frac{19}{12})$ D、 $[\frac{13}{12} ， \frac{4}{3})$

查看试题解析
22. 已知向量 $\vec{a} = (c o s θ ， s i n θ) ， \vec{b} = (\sqrt{2} ， 1)$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{b} |$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
23. 对于函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x + s i n^{2} x - \frac{1}{2}$ ，给出下列结论：
（1）函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称；
（2）函数 $y = f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上的值域为 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ ；
（3）将函数 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $y = - c o s 2 x$ 的图像；
（4）曲线 $y = f (x)$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处的切线的斜率为1.
则所有正确的结论是（）

A、（1）（2） B、（2）（3） C、（2）（4） D、（1）（3）

查看试题解析
24. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} ω x + s i n ω x c o s ω x - 1 (ω > 0)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上恰有4个不同的零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{2} ， 3]$ B、 $(2 ， \frac{7}{2})$ C、 $(\frac{7}{2} ， \frac{9}{2}]$ D、 $(3 ， \frac{9}{2}]$

查看试题解析
25. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n^{2} ω x + 2 s i n ω x c o s ω x - \sqrt{3} c o s^{2} ω x - 1 (ω > 0)$ ，给出下列4个结论：
① $f (x)$ 的最小值是 $- 3$ ；
②若 $ω = 1$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12})$ 上单调递增；
③将 $y = s i n x$ 的函数图象横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{4}$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数 $y = f (x)$ 的图象，则 $ω = 2$ ；
④若存在互不相同的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} \in [0 ， π]$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) = 3$ ，则 $ω \geq \frac{29}{12}$
其中所有正确结论的序号是（）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②

查看试题解析

四、培优

26. 某同学将两角和的正弦、余弦、余切公式错误地记成如下三个式子：
① $s i n (α + β) = s i n α c o s α + s i n β c o s β$ ② $c o s (α + β) = c o s α c o s β + s i n α s i n β$ ；③ $c o t (α + β) = \frac{c o t α + c o t β}{1 - c o t α c o t β}$ ；

若存在 $α$ 、 $β$ 恰巧能使上述某些式子成立，则能成立的式子最多有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

查看试题解析
27. 已知 $0 < x_{1} < x_{2} < 2 π$ ， $\vec{O A} = (x_{1} ， s i n x_{1}) ， \vec{O B} = (x_{2} ， s i n x_{2})$ ，且 $s i n x_{1} = s i n x_{2} = \frac{1}{3}$ ，令 $\vec{a} = \vec{O A} - \vec{O B}$ ，则 $c o s | \vec{a} | =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{7}}{3}$

查看试题解析
28. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $c - b = 2 b c o s A$ .若 $λ s i n A - c o s (C - B) < 2$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2 \sqrt{2}]$ B、 $(- \infty ， 2 \sqrt{2})$ C、 $(- \infty ， \frac{5 \sqrt{3}}{3}]$ D、 $(- \infty ， \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

查看试题解析
29. 函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后对应的函数是奇函数，函数 $g (x) = (1 + \sqrt{3}) c o s 2 x$ ．若关于x的方程 $f (x) + g (x) = - \frac{1}{2}$ 在 $[0 ， π)$ 内有两个不同的解α，β，则 $c o s (α - β)$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

查看试题解析
30. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 4 c o s^{2} x - 1$ ，若实数a、b、c使得 $a f (x) - b f (x + c) = 3$ 对任意的实数 $x$ 恒成立，则 $2 a + b - c o s c$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

查看试题解析