【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第6题

试卷更新日期：2023-10-09 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知函数f(x)= $a e^{x} - l n x$ 在区间 $(1 ， 2)$ 单调递增，则a的最小值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $e$ C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{- 2}$

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二、基础

2. 已知函数 $f (x) = x^{2} l n x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ 处得到极大值 $- \frac{1}{2 e}$ B、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 处得到极大值 $\frac{e}{2}$ C、 $f (x)$ 在 $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ 处得到极小值 $- \frac{1}{2 e}$ D、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 处得到极小值 $\frac{e}{2}$

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3. 已知曲线 $y = a x e^{x} + l n x$ 在点 $(1 ， a e)$ 处的切线方程为 $y = 3 x + b$ ，则（）

A、 $a = e ， b = - 2$ B、 $a = e ， b = 2$ C、 $a = e^{- 1} ， b = - 2$ D、 $a = e^{- 1} ， b = 2$

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4. 若函数 $f (x) = x^{2} + a l n x + \frac{2}{x}$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上为单调递增函数，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $(- ∞ ， 4]$ C、 $(- 4 ， + \infty)$ D、 $[0 ， + ∞)$

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5. “燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v（单位：km/h）随时间t（单位：h）变换的函数关系为 $v (t) = \frac{2 t}{e^{t}} + 15$ ， $t \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（）

A、 $\frac{4}{e^{2}} + 15$ B、 $\frac{2}{e^{2}} + 15$ C、 $\frac{2}{e} + 15$ D、 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} + 15$

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6. 函数 $f (x) = e^{2 x} l n (1 - x)$ 的导函数 $f^{^{'}} (x)$ 等于（）

A、 $e^{2 x} [2 l n (1 - x) + \frac{1}{x - 1}]$ B、 $2 e^{2 x} + \frac{1}{1 - x}$ C、 $e^{2 x} [2 l n (1 - x) + \frac{1}{1 - x}]$ D、 $2 e^{2 x} + \frac{1}{x - 1}$

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7. 下列结论正确的是（）

A、若 $f (x) = s i n x + x^{2}$ ，则 $f^{'} (x) = - c o s x + 2 x$ B、若 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ C、若 $f (x) = 2$ ，则 $f^{'} (x) = 2$ D、若 $f (x) = {(2 x - 1)}^{3}$ ，则 $f^{'} (x) = 3 {(2 x - 1)}^{2}$

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8. 已知函数f(x)=ln x+ax²-3x在( $\frac{1}{2}$ ， 3)上单调递增，则a的取值范围为（）

A、[ $\frac{4}{9}$ ， +∞) B、(0， $\frac{4}{9}$ ] C、[ $\frac{9}{8}$ ， +∞) D、(0， $\frac{9}{8}$ ]

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9. 若关于 $x$ 的不等式 $e^{x} - x - a > 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(e ， + ∞)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0]$

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10. 若函数 $f (x) = x^{2} - a x + l n x$ 有两个极值点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $0 < a < 2 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2} < a < 2 \sqrt{2}$ C、 $a < - 2 \sqrt{2}$ 或 $a > 2 \sqrt{2}$ D、 $a > 2 \sqrt{2}$

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11. 函数 $f (x) = 2 x - 5 l n x - 4$ 的单调递增区间是（）

A、 $(\frac{5}{2} ， + \infty)$ B、 $(- ∞ ， 0)$ 和 $(\frac{5}{2} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{5}{2})$ D、 $(0 ， 3)$

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12. 设函数 $f (x) = x^{2} - 2 e x - \frac{1 n x}{x} + a$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），若函数 $f (x)$ 至少存在一个零点，则实数 $a$ 的取值范围是

A、 $(0 ， e^{2} - \frac{1}{e}]$ B、 $(0 ， e^{2} + \frac{1}{e}]$ C、 $[e^{2} - \frac{1}{e} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， e^{2} + \frac{1}{e}]$

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三、提升

13. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x .$ 如果过点 $(1 ， b)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，求实数 $b$ 的取值范围（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 0)$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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14. 已知可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) > f^{'} (x) + 1$ ，且 $f (x) - 2024$ 为奇函数，则不等式 $f (x) - 2023 e^{x} < 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(- \infty ， e)$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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15. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) - 2 f (x) > 0$ ， $f (- 2) = 1$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x^{2}} < \frac{1}{4}$ 的解集是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， 2)$

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16. 设 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = 2 l n (s i n \frac{1}{6} + c o s \frac{1}{6})$ ， $c = \frac{1}{2} l n 2$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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17. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导数 $f^{'} (x)$ ，对任意的 $x \in R$ 有 $f^{'} (x) > x$ .若 $f (1 - k) - f (k) ⩾ \frac{1}{2} - k$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- ∞ ， 0]$ B、 $(- ∞ ， \frac{1}{2}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1]$

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18. 已知 $a = e^{- 1}$ ， $b = \frac{4 - 2 l n 2}{e^{2}}$ ， $10 c = l n 10$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，则a，b，c的大小为（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} - a$ 和 $g (x) = \frac{l n x}{x} + b$ 有相同的极大值，则 $a + b =$ （）

A、2 B、0 C、-3 D、-1

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20. 已知不等式 $e^{k x} + 1 > \frac{(x + 1) l n x}{k x}$ 对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ (e ， + \infty)$ D、 $(e ， + ∞)$

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21. 已知偶函数 $f (x)$ 与其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x) + e^{- x} + x$ 也是偶函数，若 $f (2 a - 1) < f (a + 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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22. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ ，则方程 $f (x) = 4 e$ 解的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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23. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = - 1$ 时有极值0，则 $a + b =$ （　　）

A、4 B、11 C、4或11 D、以上答案都不对

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四、培优

24. 已知函数 $f (x) = e^{x} - l n x$ ， $g (x) = a x + b$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) ≥ g (x)$ 恒成立，则 $a + b$ 的最大值为（）

A、 $e$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $- e$

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25. 关于函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{e^{x}}$ ，有如下列结论：①函数 $f (x)$ 有极小值也有最小值；②函数 $f (x)$ 有且只有两个不同的零点；③当 $- 2 e^{2} < k < \frac{6}{e^{2}}$ 时， $f (x) = k$ 恰有三个实根；④若 $x \in [0 ， t]$ 时， $f {(x)}_{m a x} = \frac{6}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最小值为 $2$ ．其中正确结论的个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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26. 若关于 $x$ 的不等式 $k (x^{2} + 2 x) \leq l n x + 1$ 的解集中恰有 $2$ 个整数，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{3} < k \leq 1$ B、 $\frac{l n 2 + 1}{8} < k \leq \frac{1}{3}$ C、 $\frac{l n 3 + 1}{15} < k \leq \frac{l n 2 + 1}{8}$ D、 $\frac{l n 4 + 1}{24} < k \leq \frac{l n 3 + 1}{15}$

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27. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{3} 4$ ， $c = l o g_{4} 5$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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28. 已知函数 $f (x) = 2^{x - a} + \frac{x_{}^{2}}{2} + 3 x - l n (x + 3) + 2^{2 - x + a}$ 存在零点，则实数 $a$ 的值为（）

A、-3 B、-2 C、-1 D、2

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29. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x < 0 \\ {(x - 1)}^{2} ， x \geq 0 \end{array}$ ，函数 $y = t$ 的图象与曲线 $y = f (x)$ 有3个不同的交点，其横坐标依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，设 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{2} - x_{1} x_{3}$ 的取值范围为（）

A、 $[2 ， \frac{86}{27}]$ B、 $(2 ， \frac{86}{27}]$ C、 $(2 ， 3]$ D、 $[2 ， 3]$

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30. 函数 $f (x) = e^{x} + a c o s x ， x \in (- π ， + \infty)$ ，下列说法不正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 无极值点 B、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 存在唯一极小值点 C、对任意 $a > 0$ ， $f (x)$ 在 $x \in (- π ， + \infty)$ 上不存在极值点 D、存在 $a < 0$ ， $f (x)$ 在 $x \in (- π ， + \infty)$ 上有且只有一个零点

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