【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第5题

试卷更新日期：2023-10-08 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线y=x+m与C交于点A，B两点，若 $△ F_{1} A B$ 面积是 $△ F_{2} A B$ 的 2 倍，则m=（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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二、基础

2. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F_{2}$ ，左顶点为 $A_{1}$ ，若E上的点P满足 $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $t a n ∠ P A_{1} F_{2} = \frac{1}{2}$ ，则E的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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3. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点，M，N是椭圆 $C$ 上两点，且 $\vec{M F_{1}} = 2 \vec{F_{1} N} ， \vec{M F_{2}} \cdot \vec{M N} = 0$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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4. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过原点的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $A F ⊥ B F$ ，且 $| A F | = 3 | B F |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左，右两焦点为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ， P为椭圆上一点，且 $| P O | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、64

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6. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两条渐近线与椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的四个交点及椭圆 $M$ 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 $M$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若 $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ， $S_{△ A F_{1} F_{2}} = 2$ ，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的下焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，直线 $A F$ 交椭圆 $C$ 于另一点 $B$ ，且 $A F = 2 F B$ ，则椭圆 $C$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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9. 如图， $A ， B$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点， $P$ 是 $⊙ O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 上不同于 $A ， B$ 的动点，线段 $P A$ 与椭圆 $C$ 交于点 $Q$ ，若 $t a n ∠ P B A = 3 t a n ∠ Q B A$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10. 已知直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM与抛物线C交于O，N，若 $| O N | = 3 | O M |$ ，则p=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $A$ ，若直线 $A F$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{3 a^{2}}{16}$ 相切，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，点 $F_{2}$ 到直线 $P F_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3} a$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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三、提升

13. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，以 $F_{2}$ 为圆心的圆与 $x$ 轴交于 $F_{1}$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴正半轴交于点 $A$ ，线段 $A F_{1}$ 与 $C$ 交于点 $M$ .若 $| B M |$ 与 $C$ 的焦距的比值为 $\frac{\sqrt{31}}{3}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7} - 1}{2}$

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14. 点 $A$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 1)$ 的右顶点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点（不与 $A$ 重合），若 $\vec{P O} \cdot \vec{P A} = 0$ （ $O$ 是坐标原点），则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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15. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆上不与顶点重合的一点，记 $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心．直线 $P I$ 交 $x$ 轴于 $A$ 点， $| \vec{O A} | = \frac{1}{4} c$ ，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = \frac{1}{16} a^{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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16. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆上不与顶点重合的一点，记 $I$ 是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心 $.$ 直线 $P I$ 交 $x$ 轴于 $A$ 点， $| \vec{O A} | = \frac{1}{4} c$ ，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = \frac{1}{16} a^{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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17. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆与双曲线的公共焦点，P是其一个公共点， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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18. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线l过点 $F_{1}$ .若点 $F_{2}$ 关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且 $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{F_{1} F_{2}} = \frac{1}{2} a^{2}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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19. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、5

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20. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线l分别交双曲线C的左、右两支于A、B.若 $| B F_{1} | ： | A F_{1} | ： | B F_{2} | = 3 ： 2 ： 1$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{6}}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{4} x$

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21. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 在椭圆上， $△ P O F_{2}$ 是面积为 $4 \sqrt{3}$ 的正三角形，则 $e$ 的值是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $4 - 2 \sqrt{3}$

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22. 已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、6 B、12 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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23. 已知F为抛物线 $C ： x^{2} = 8 y$ 的焦点，过F的直线 $l$ 与抛物线C交于A，B两点，与圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则 $| A D | \cdot | B E | =$ （）

A、1 B、4 C、8 D、16

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四、培优

24. 已知圆 $C_{1} ： {(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = r^{2} (0 < r < 4)$ 与圆 $C_{2} ： {(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = {(4 - r)}^{2}$ 交点的轨迹为 $M$ ，过平面内的点 $P$ 作轨迹 $M$ 的两条互相垂直的切线，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} = 5$ B、 $x^{2} + y^{2} = 4$ C、 $x^{2} + y^{2} = 3$ D、 $x^{2} + y^{2} = \frac{5}{2}$

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25. 点 $A (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} > 1 ， y_{0} < 0) ， B ， C$ 均在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，若直线 $A B ， A C$ 分别经过两定点 $(- 1 ， 0) ， M (1 ， 4)$ ，则 $B C$ 经过定点 $N$ ，直线 $B C ， M N$ 分别交 $x$ 轴于 $D ， E$ ， $O$ 为原点，记 $| O D | = a ， | D E | = b$ ，则 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{b^{2}}{b + 3}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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26. 一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图）， $O$ 为底面圆的中心， $O_{1}$ 为截面的中心， $A$ 为截面上距离底面最小的点， $A$ 到圆柱底面的距离为1， $B$ 为截面图形弧上的一点，且 $∠ A O_{1} B = 60 °$ ，则点 $B$ 到底面的距离是（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{14 - 2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{14 - \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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27. 已知抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，焦点 $F$ 在 $x$ 轴上，过点 $(2 ， 0)$ 的直线交 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，且 $O P ⊥ O Q$ ，线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，则直线 $M F$ 的斜率的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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28. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A (- 2 ， 2)$ 为椭圆 $C$ 内一点，点 $Q (a ， b)$ 在双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上，若椭圆上存在一点 $P$ ，使得 $| P A | + | P F_{2} | = 8$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{5} + 1 ， 5]$ B、 $[3 ， 5]$ C、 $(\sqrt{5} + 1 ， 2 \sqrt{5}]$ D、 $[\sqrt{3} ， \sqrt{5}]$

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29. 过抛物线 $Γ ： x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 作斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 2$ ， $l_{1}$ 与 $Γ$ 相交于点 $A ， B$ ， $l_{2}$ 与 $Γ$ 相交于点 $C ， D$ ．分别以 $A B$ 、 $C D$ 为直径的圆 $M$ 、圆 $N$ （ $M ， N$ 为圆心）的公共弦记为 $l$ ，则点 $M$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{5}}{20}$ B、 $\frac{5 \sqrt{7}}{20}$ C、 $\frac{7 \sqrt{5}}{22}$ D、 $\frac{5 \sqrt{7}}{22}$

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30. 双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点分别为 $F ， F^{'}$ ， $A (- a ， 0)$ ， $B (a ， 0)$ ， $P ， Q$ 分别为 $C_{1} ， C_{2}$ 上第一象限内不同于 $B$ 的点，若 $\vec{P A} + \vec{P B} = λ (\vec{Q A} + \vec{Q B}) ， (λ \in R)$ ， $\vec{P F} = \sqrt{3} \vec{Q F^{'}}$ ，则四条直线 $P A ， P B ， Q A ， Q B$ 的斜率之和为（）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、不确定值

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