【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第4题

试卷更新日期：2023-10-08 类型：二轮复习

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一、原题

1. 若 $f (x) = (x + a) l n \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ 为偶函数，则a=（）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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二、基础

2. 已知 $f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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3. 已知 $f (x) = a^{x} + a^{- x}$ ，且 $f (3) > f (1)$ ，则下列各式一定成立的是（）

A、 $f (3) > f (- 2)$ B、 $f (0) > f (3)$ C、 $f (- 1) > f (- 3)$ D、 $f (0) > f (- 1)$

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4. 如图所示为函数 $f (x)$ 的图象，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{2^{x} + 2^{- x}}{x}$ B、 $f (x) = x (2^{x} + 2^{- x})$ C、 $f (x) = x (2^{x} - 2^{- x})$ D、 $f (x) = \frac{x}{2^{x} + 2^{- x}}$

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 的大致图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{x^{2}}$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2}}$ C、 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x^{3}}$

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6. $f (x)$ 是定义域为R的奇函数， $f (x + 4) = f (x)$ ， $f (1) = 3$ ，则 $f (43) =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、6 D、0

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7. 函数 $f (x) = \frac{l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x)}{c o s x + 2}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 函数 $f (x)$ 的图象如下图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $\frac{5 (e^{x} - e^{- x})}{x^{2} + 2}$ B、 $\frac{5 s i n x}{x^{2} + 1}$ C、 $\frac{5 (e^{x} + e^{- x})}{x^{2} + 2}$ D、 $\frac{5 c o s x}{x^{2} + 1}$

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9. 已知 $f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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10. 已知函数 $f (x) = l n x + x^{2} + b x$ 的单调递减区间为 $(\frac{1}{2} ， 1)$ ，则 $b$ 的值为（）

A、3 B、-6 C、6 D、-3

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11. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + e^{- 2 x + 2}$ ，则（）

A、 $f (x + 1)$ 为奇函数 B、 $f (x + \frac{1}{2})$ 为偶函数 C、 $f (x - 1)$ 为奇函数 D、 $f (x - \frac{1}{2})$ 为偶函数

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三、提升

12. 函数 $y = (2^{x} - 2^{- x}) c o s x$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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13. 已知 $f (x) = l g (e^{| x |} + 1)$ ， $a = 2^{0.3}$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = l o g_{2} \frac{1}{4}$ ，则 $f (a)$ 、 $f (b)$ 、 $f (c)$ 的大小关系为（）

A、 $f (c) > f (a) > f (b)$ B、 $f (b) > f (a) > f (c)$ C、 $f (a) > f (b) > f (c)$ D、 $f (c) > f (b) > f (a)$

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14. 我们知道： $y = f (x)$ 的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为： $y = f (x)$ 的图象关于 $(a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.若 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 的对称中心为 $(m ， n)$ ，则 $f (2023) + f (2021) + ⋯ + f (3) + f (- 1) + f (- 3) + f (- 5) + ⋯$ $+ f (- 2019) + f (- 2021) =$ （）

A、8088 B、4044 C、 $- 4044$ D、 $- 2022$

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15. 音乐与数学在某些领域息息相关，比如在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦．已知某和弦可表示为函数 $f (x) = s i n x - 2 s i n 2 x$ ，则 $f (x)$ 在 $[- π ， π]$ 上的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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16. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - 3 l n x$ ，若 $f (x) > x^{3} - a x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 3 e)$ B、 $(3 e ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{3}{e})$ D、 $(\frac{3}{e} ， + \infty)$

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17. 函数 $f (x) = \frac{1}{(x - 1) l n | x |}$ 的大致图象是（）．

A、 B、 C、 D、

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18. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) - 2 f (x) > 0$ ， $f (- 2) = 1$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x^{2}} < \frac{1}{4}$ 的解集是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， 2)$

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19. 已知 $a^{2} - 2 a b - 3 b^{2} = 1$ ，且 $- 1 ⩽ l o g_{2} (a + b) \leq 1$ ，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， \frac{5}{3}]$ B、 $[1 ， \frac{5}{4}]$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $[- 1 ， \frac{7}{4})$

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20. 已知 $f (x)$ 的图象如图，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{c o s (π x)}{2 (e^{x} + e^{- x})}$ B、 $f (x) = \frac{c o s (π x)}{2 (e^{x} - e^{- x})}$ C、 $f (x) = \frac{(e^{x} - e^{- x}) c o s (π x)}{2}$ D、 $f (x) = \frac{(e^{x} + e^{- x}) s i n (π x)}{2}$

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21. 函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{3^{x} + 1}) \cdot c o s x$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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四、培优

22. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $△ A B C$ 的面积为S ，若 $s i n (A + C) = \frac{2 S}{b^{2} - a^{2}}$ ，则 $t a n A + \frac{1}{3 t a n (B - A)}$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{4}{3}]$ C、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{4}{3})$ D、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{4}{3})$

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23. 岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图 $1$ 是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图 $2$ 是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 $x$ 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）

A、 $y = | x | \sqrt{4 - x^{2}}$ B、 $y = x \sqrt{4 - x^{2}}$ C、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 | x |}$ D、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x}$

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24. 已知函数 $f (x) = \frac{4 x}{1 + | x |}$ ，则不等式 $- 3 < f (2 x + 1) < 3$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$

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25. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (x + 1)$ 为奇函数，且对 $\forall x \in R ， f (x + 4) = f (- x)$ 恒成立．则以下结论：① $f (x)$ 为偶函数；② $f (3) = 0$ ；③ $f (\frac{1}{2}) = f (\frac{5}{2})$ ；④ $f (2023) = 0$ 其中正确的为（）

A、①②④ B、②③ C、②③④ D、①③④

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26. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，且 $f (x + 2) - 1$ 为奇函数，则 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k)$ （）

A、-2023 B、-2022 C、2022 D、2023

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27. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (2 - x)$ ， $f (x + 3) = f (3 - x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期为2 B、 $f (x + 2)$ 为偶函数 C、 $f (0) = 0$ D、 $f (1) = 0$

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