【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第1题

试卷更新日期：2023-10-08 类型：二轮复习

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一、原题

1. 在复平面内， $(1 + 3 i) (3 - i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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二、基础

2. 已知复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - 3 i}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若 $z (1 - i) = {(1 + i)}^{2}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、i B、1 C、-1 D、-i

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4. 已知复数z $= \frac{5}{3 + 4 i}$ ，则复数z的虚部为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ i D、 $- \frac{4}{5}$ i

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5. 已知 $z (1 - i) = 3 + i$ （i是虚数单位），z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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6. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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7. 已知复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则复数z等于（）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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9. 已知复数 $z$ 满足 $z = (3 - 2 i) (1 + i)$ ， i为虚数单位， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $5 - i$ B、 $5 + i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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10. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1 ， - 2)$ ，则 $z + \frac{2}{i}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + 4 i$ B、 $1 - 4 i$ C、 $4 + i$ D、 $4 - i$

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11. 复数z满足 $\frac{z}{1 + 2 i} = 2 - 3 i$ (i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是（）

A、 $8 + i$ B、 $8 - i$ C、 $- 4 + i$ D、 $- 4 - i$

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12. 已知 $z = \frac{1 - i}{2 + 2 i}$ ，则 $z - \bar{z}$ =（）

A、−i B、i C、0 D、1

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三、提升

13. 若复数 $z = (2 - i) (3 + 7 i)$ ，则z的实部为（）

A、13 B、11 C、-1 D、1

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14. 已知 $a \in R ， z = \frac{a + i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位）是纯虚数，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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15. 已知 $(1 - 2 i) z = 2 i$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$

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16. 已知复数 $z$ 满足 $(z + 2 i) (2 - i) = 5$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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17. 已知复数 $z = \frac{1 + i}{3 i - 1}$ ，则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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18. 若 $z = a + \frac{i}{1 - i} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、1

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19. 已知复数 $z$ 满足 $z (3 + i) = 3 + i^{2023}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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20. 复数 ${(\frac{1 + i}{1 - i})}^{4}$ 的值等于（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1$ D、 $- 1$

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21. 若复数 $z$ 满足 $\frac{\bar{z}}{1 - i} = i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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22. 已知 $\frac{i}{z} = 1 + i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 + i$ C、 $\frac{- 1 + i}{2}$ D、 $\frac{1 + i}{2}$

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四、培优

23. 若复数 $z = | \sqrt{3} i - 1 | + \frac{1}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2}$

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24. 复数 $z = \frac{2}{1 + i} - 2 i =$ （）

A、 $2 - 4 i$ B、 $2 - 2 i$ C、1 D、 $1 - 3 i$

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25. 复数 $(z + i) (2 - i) = i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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26. 若复数 $z$ 满足 $z + 2 \bar{z} = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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27. 复数 $z = \frac{(1 + \sqrt{3} i)^{3}}{(2 + 2 i)^{2}} + \frac{3 + i}{2 - i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、2 B、 $2 i$ C、 $i$ D、 $- 2$

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28. 已知 $b$ 为实数，并且 $\frac{1 + i}{2 + b i} + \frac{1}{2}$ 的实部与虚部系数相等，则 $b$ 的值是（）

A、 $b = 2$ B、 $b = - 2$ C、 $b = \pm 2$ D、 $b = 0$

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29. 计算 ${(\sqrt{3} - i)}^{6}$ 的值等于（）

A、 $64$ B、 $- 64$ C、 $6 \sqrt{6} - 6 i$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

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30. 设 $z = \frac{2 + i}{1 + i^{2} + i^{5}}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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