湖南省衡阳市衡南县2023年中考三模数学试题

试卷更新日期：2023-10-07 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 据不完全统计，截至2020年4月2号，华为官方应用市场“学习强国 $A P P$ ”下载量已达88300000次．将数据88300000用科学记数法表示为（）

A、 $0.883 \times 10^{9}$ B、 $8.83 \times 10^{8}$ C、 $8.83 \times 10^{7}$ D、 $88.3 \times 10^{6}$

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2. 下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $a + b = 3$ ， $a - b = 7$ ，则 $a^{2} - b^{2}$ 的值为（）

A、 $- 21$ B、21 C、 $- 10$ D、10

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4. 下列计算正确的是 $($ $)$

A、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{15}$ C、 ${(2 \sqrt{2})}^{2} = 16$ D、 $\frac{3}{\sqrt{3}} = 1$

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5. 在下面的四个几何体中，同一几何体的主视图与俯视图相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} - 2 x + 5 \geq 3 \\ 3 (x - 1) < 2 x \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ 是方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = 2 \\ b x + a y = - 3 \end{array}$ 的解，则 $a + b$ 的值是（）

A、﹣1 B、1 C、﹣5 D、5

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8. 某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（）

A、126，126 B、126，130 C、130，134 D、118，134

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9. 如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是（）

A、20° B、35° C、40° D、70°

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 与四边形 $E F G H$ 位似，其位似中心为点 $O$ ，且 $\frac{O E}{E A} = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{F G}{B C}$ （）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{8}{7}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{4}{3}$

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11. 如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC ．若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为（）

A、40° B、50° C、80° D、100°

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12. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对于下列结论：① $b^{2} > 4 a c$ ；② $a + b < - c$ ；③ $a b c < 0$ ；④ $8 a + c > 0$ ；⑤方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根是 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ ，其中正确结论的个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、填空题

13. 若二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是．

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14. 分解因式： ${2a}^{2} - 4a + 2 =$ ．

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15. 如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为 ${cm}^{2}$ （结果保留 $π$ ）．

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16. 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第6个图中共有点的个数是.

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17. 在 $⊙ O$ 中，直径 $A B = 4$ ，弦 $C D ⊥ A B$ 于 $P$ ， $O P = \sqrt{3}$ ，则弦 $C D$ 的长为．

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18. 如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH ， AB=EF=2cm，BC=FG=8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于．

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三、解答题

19. 计算： $| \sqrt{3} - 2 | + 2013^{0} - {(- \frac{1}{3})}^{- 1} + 3 \tan 30 °$ ．

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20. 如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF．

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21. 某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：

(1)、在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为，并补全条形统计图；

(2)、该校共有学生2400人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；

(3)、对视力“非常重视”的4人有一名男生，三名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率．

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22. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌 $C D$ ，小李在山坡的坡脚 $A$ 处测得广告牌底部 $D$ 的仰角为 $60 °$ ．沿坡面 $A B$ 向上走到 $B$ 处测得广告牌顶部 $C$ 的仰角为 $45 °$ ，已知山坡 $A B$ 的坡度 $i = 1 ： \sqrt{3}$ ， $A B = 8$ 米， $A E = 10$ 米．

(1)、求点 $B$ 距水平面 $A E$ 的高度 $B H$ ；

(2)、求广告牌 $C D$ 的高度．

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23. 国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：

(1)、用表达式表示蝙蝠型风筝销售量 $y$ （个）与售价 $x$ （元）之间的函数关系（ $12 \leq x \leq 30$ ）；

(2)、王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？

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24. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 边于点 $D$ ．以 $A B$ 上一点 $O$ 为圆心作 $⊙ O$ ，使 $⊙ O$ 经过点 $A$ 和点 $D$ ．

(1)、判断直线 $B C$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

(2)、若 $A C = 3$ ， $∠ B = 30 °$ ．
①求 $⊙ O$ 的半径；

②设 $⊙ O$ 与 $A B$ 边的另一个交点为 $E$ ，求线段 $B D$ ， $B E$ 与劣弧 $D E$ 所围成的阴影部分的面积．（结果保留根号和 $π$ ）

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25. 已知，把 $Rt △ ABC$ 和 $Rt △ DEF$ 按图1摆放， $($ 点C与E点重合 $)$ ，点B、C、E、F始终在同一条直线上， $∠ ACB = ∠ EDF = 90^{\circ}$ ， $∠ DEF = 45^{\circ}$ ， $AC = 8$ ， $BC = 6$ ， $EF = 10$ ，如图2， $△ DEF$ 从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB方向匀速移动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与 $△ DEF$ 的直角边相交于Q，当P到达终点B时， $△ DEF$ 同时停止运动连接PQ，设移动的时间为 $(s)$ 解答下列问题：

(1)、 $△ DEF$ 在平移的过程中，当点D在 $Rt △ ABC$ 的AC边上时，求AB和t的值；

(2)、在移动的过程中，是否存在 $△ APQ$ 为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

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26. 已知，二次函数y＝- $\frac{\sqrt{3}}{6}$ x²＋ $\frac{3}{2}$ x＋2 $\sqrt{3}$ 图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ，连接AC、BC ．

(1)、如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)、如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P ，过P作PE⊥x轴，垂足为E ，交BC于点F ，过F作FG⊥PE ，交DP于G ，连接CG ， OG ，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标；

(3)、如图3，将抛物线沿射线AC方向移动 $\frac{3}{2} \sqrt{5}$ 个单位得到新的抛物线y′＝ax²＋bx＋c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M ，在坐标平面内存在点N ，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．

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