（北师大版）2023-2024学年八年级数学上册5.8 三元一次方程组同步测试

试卷更新日期：2023-10-07 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知2x﹣3y＝3，3y﹣4z＝5，x+2z＝8，则代数式3x²﹣12z²的值是（）

A、32 B、64 C、96 D、128

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2. 已知 $a 、 b 、 c$ 是自然数，且满足 $2^{a} \times 3^{b} \times 4^{c} = 192$ ，则 $a + b + c$ 的取值不可能是（　　　）

A、5 B、6 C、7 D、8

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3. 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需42元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（）

A、12元 B、10.5元 C、9.5元 D、9元

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4. 解三元一次方程组 ${\begin{cases} x - y + z = - 3 ， ① \\ x + 2 y - z = 1 ， ② \\ x + y = 0 ， ③ \end{cases}$ 要使解法较为简便，首先应进行的变形为（）

A、①+② B、①-② C、①+③ D、②-③

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5. 利用两块长方体木块测量两张桌子的高度.首先按图 $①$ 方式放置，再交换两木块的位置，按图 $②$ 方式放置.测量的数据如图，则桌子高度是（）

A、 $74 c m$ B、 $75 c m$ C、 $76 c m$ D、 $77 c m$

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6. 桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？（）

A、80 B、110 C、140 D、220

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7. 如果 ${\begin{matrix} x + 2 y - 8 z = 0 \\ 2 x - 3 y + 5 z = 0 \end{matrix}$ ，其中xyz≠0，那么x：y：z=（）

A、1：2：3 B、2：3：4 C、2：3：1 D、3：2：1

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8.
学校组织了一次游戏，每位选手朝特制的靶子上各投三以飞镖，现规定，当飞镖落在同一圆环内时得分相同．如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩是（　　）

A、31分 B、33分 C、36分 D、38分

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9.
《九章算术》是中华民族数学史上的瑰宝，方程组： $\{\begin{matrix} x + 2 y + 3 z = 26 (1) \\ 2 x + 3 y + z = 34 (2) \\ 3 x + 2 y + z = 39 (3) \end{matrix}$ 在《九章算术》中用算筹布成：
，则用算筹布成的表示的方程组是（　　）

A、 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 11 \\ 3 x + 2 y = 23 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} 2 x + y + 11 z = 0 \\ 3 x + 2 y + 27 z = 0 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 0 \\ x + 2 y = 0 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 11 \\ 3 x + 2 y = 27 \end{matrix}$

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10. 若方程组 $\{\begin{matrix} x + 4 = y \\ 2 x - y = 2 a \end{matrix}$ 中的x是y的2倍，则a等于（　　）

A、-9 B、8 C、-7 D、-6

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二、填空题

11. 若a、b、c、d为整数，且b是正整数，满足b+c＝d，c+d＝a，a+b=c，那么a+2b+3c+4d的最大值是．

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12. 为实现新型冠状病毒灭活疫苗量产，某地甲、乙、丙三个生产车间在甲车间投入生产后依次相差两天时间投入生产.当乙车间生产8天时，所生产的疫苗总数量与甲车间生产的疫苗总数量相等；当丙车间生产12天时，所生产的疫苗总数量与甲车间生产的疫苗总数量相等.若甲、乙、丙三个生产车间每天各自生产的疫苗数量不变，则当丙车间生产的疫苗总数量和乙车间生产的疫苗总数量相同后，再过天，丙车间生产的疫苗总数量比甲车间生产的疫苗总数量多20%.

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13. “九九重阳节，浓浓敬老情”，今年某花店在重阳节推出“松鹤长春”“欢乐远长”“健康长寿”三种花束.“松鹤长春”花束中有8枝百合，16 枝康乃馨；“欢乐远长”花束中有6枝百合，16枝康乃馨，2枝剑兰；“健康长寿”花束中有4枝百合，12枝康乃馨，2枝剑兰.已知百合花每枝1元，康乃馨每枝 $\frac{3}{4}$ 元，剑兰每枝5元，重阳节当天销售这三种花束共2549元，其中百合花的销售额为458元，则剑兰的销售量为枝.

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14. 火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是.

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15. 已知：a、b、c是三个非负数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1，设m＝3a+b﹣7c，设s为m的最大值，则s的值为.

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三、解答题

16. “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数x ， y满足 ${\begin{cases} 3 x - y = 5 \\ 2 x + 3 y = 7 \end{cases}$ ，求x-4y和7x+5y的值．
小天：利用消元法解方程组，得x ， y的值后，再代入求x-4y和7x+5y的值；

小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，3x-y＝5①，2x+3y＝7②，由①-②可得x-4y＝-2，由①+②×2可得7x+5y＝19；

李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题：

(1)、已知二元一次方程组 ${\begin{cases} 2 x + y = 4 \\ x + 2 y = 5 \end{cases}$ ，则x-y＝， x+y＝；

(2)、请说明在关于x ， y的方程组 ${\begin{cases} x + 3 y = 4 - a \\ x - 5 y = 3 a \end{cases}$ 中，无论a为何值，x+y的值始终不变；

(3)、八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果）

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17. 如图是一个正方体展开图，已知正方体相对两面的代数式的值相等；

(1)、求a、b、c 的值；

(2)、判断a+b-c的平方根是有理数还是无理数．

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18. 在等式y=ax²+bx+c中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=6时，y=60，求a、b、c的值．

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19. 解方程组： $\{\begin{matrix} 3 x - y + z = 10 (1) \\ x + 2 y - z = 6 (2) \\ x + y + 2 z = 17 (3) \end{matrix}$

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四、综合题

20. 在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y + z = 4 ① \\ 7 x + 5 y + 3 z = 10 ② \end{array}$ ，求 $x + y + z$ 的值．
解：① $\times 2$ 得： $6 x + 4 y + 2 z = 8$ ③
② $-$ ③得： $x + y + z = 2$
∴ $x + y + z$ 的值为2．

(1)、已知 ${\begin{array}{l} x + 2 y + 3 z = 10 \\ 5 x + 6 y + 7 z = 26 \end{array}$ ，求 $3 x + 4 y + 5 z$ 的值；

(2)、马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买 $40$ 本笔记本、 $20$ 支签字笔、 $4$ 支记号笔需要 $488$ 元．通过还价，班委购买了 $80$ 本笔记本、 $40$ 支签字笔、 $8$ 支记号笔，只花了 $732$ 元，请问比原价购买节省了多少钱？

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21. 阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x＋3y＝7…②，求x﹣4y和7x＋5y的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用“整体思想”，解决下列问题：

(1)、已知二元一次方程组 ${\begin{matrix} 2 x + y = 7 \\ x + 2 y = 8 \end{matrix}$ ，则x﹣y＝， x＋y＝；

(2)、买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？

(3)、对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算.已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值.

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22. 我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天”……在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关.
定义：对于四位自然数 $n$ ，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数 $n$ 为“七巧数”.

例如：3254是“七巧数”，因为 $3 + 4 = 7$ ， $2 + 5 = 7$ ，所以3254是“七巧数”； 1456不是“七巧数”，因为 $1 + 6 = 7$ ，但 $4 + 5 \neq 7$ ，所以1456不是“七巧数”.

(1)、若一个“七巧数”的千位数字为 $a$ ，则其个位数字可表示为（用含 $a$ 的代数式表示）；

(2)、最大的“七巧数”是，最小的“七巧数”是；

(3)、若 $m$ 是一个“七巧数”，且 $m$ 的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请求出满足条件的所有“七巧数” $m$ .

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23. 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题∶
已知实数x、y满足 $3 x - y = 5$ ①， $2 x + 3 y = 7$ ②，求 $x - 4 y$ 和 $7 x + 5 y$ 的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由① $-$ ②可得 $x - 4 y = - 2$ ，由①＋② $\times 2$ 可得 $7 x + 5 y = 19$ .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题∶

(1)、已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 7 \\ 2 x + 3 y = 3 \end{array}$ 则 $x - y =$ ， $x + y =$ .

(2)、某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？

(3)、对于实数x、y，定义新运算∶ $x * y = a x + b + c$ ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 $3 * 5 = 16$ ， $2 * 3 = 12$ ，那么 $5 * 9 =$ .

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二、填空题

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