江苏省苏州市吴江区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-10-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{3} - a^{2} = a$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 $(a^{3})^{2} = a^{6}$

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2. 近年来，中国北斗芯片实现了22纳米制程的突破，领先GPS芯片. 已知22纳米＝ $0.000 000 022$ 米，数据0.000000022用科学记数法可表示为（）

A、 $0.22 \times 1 0^{- 7}$ B、 $2.2 \times 1 0^{- 8}$ C、 $2.2 \times 1 0^{- 9}$ D、 $22 \times 1 0^{- 9}$

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3. 线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若 $a = 2$ ， $b = 5$ ，则c的长度可以是（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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4. 若 $m < n$ ，下列不等式一定成立的是（）

A、 $m + 2 < n - 2$ B、 $2 m < 2 n$ C、 $- \frac{m}{2} > \frac{n}{2}$ D、 $m^{2} < n^{2}$

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5. 已知 $a^{m} = 2$ ， $a^{n} = 5$ ，则 $a^{3 m - 2 n}$ 的值是（）

A、 $\frac{8}{25}$ B、 $\frac{6}{25}$ C、 $- 17$ D、 $- 19$

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6. 如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定 $C D ∥ A B$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 4$ B、 $∠ 2 = ∠ 3$ C、 $∠ 5 = ∠ B$ D、 $∠ D C B + ∠ B = 180 °$

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7. 被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．书中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”原文大意为：“现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀和6只燕共重1斤，问雀和燕各重多少？”设雀每只 $x$ 斤，燕每只 $y$ 斤，则可列出方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 1 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 1 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 6 x + 5 y = 1 \\ 5 x + y = 4 y + x \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 6 x + 5 y = 1 \\ 6 x + y = 5 y + x \end{array}$

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8. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，过点D作 $D E ∥ A B$ ，交 $A C$ 于点E， $D F$ 是 $△ A D C$ 的角平分线，点M在边 $A B$ 上，且 $A B = 3 B M$ ，点N在线段 $D E$ 上，若 $A D = \frac{3}{4} C D$ ，记 $△ B M N$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ D F C$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} ： S_{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{12}$

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二、填空题

9. $3 x^{2} \cdot 2 x y =$ ．

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10. 已知 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ 是方程 $k x + 3 y = 6$ 的解，则 $k =$ ．

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11. 若 $a + b = 3$ ， $a - b = \frac{2}{3}$ ，则 $a^{2} - b^{2} + 2021 =$ ．

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12. 命题“对顶角相等”的逆命题是

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13. 如图，以 $A B$ 为一边在正五边形内作正方形 $A B M N$ ，则 $∠ C B M =$ 度．

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14. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后，点D、C分别落在点 $D_{1}$ 、 $C_{1}$ 的位置， $E D_{1}$ 的延长线交 $B C$ 于点G，若 $∠ E F G = 66 °$ ，则 $∠ B G E =$ 度．

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15. 定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若 $△ A B C$ 是“倍角三角形”， $∠ A = 96 °$ ， $∠ B > ∠ C$ ，则 $∠ B =$ 度．

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16. 如图，已知长方形 $A B C D$ 中， $A B = 8 c m$ ， $A D = 12 c m$ ，点 $E$ 在 $A B$ 边上， $B E = 3 c m$ ，点 $F$ 在线段 $B C$ 上以 $3 c m / s$ 的速度由 $B$ 点向 $C$ 点运动，到达点 $C$ 后马上折返，向点 $B$ 运动，点 $G$ 在线段 $C D$ 上以 $v c m / s$ 的速度由C点向D点运动．点F、G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t=秒．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $| - 3 | - (2023 - π)^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ；

(2)、 $x^{2} \cdot x^{4} + (- x^{2})^{3} - (2 x^{4})^{2} \div x^{2}$ ．

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18. 因式分解：

(1)、 $a^{4} - 1$ ；

(2)、 $4 x^{3} - 3 x^{2} - x$ ．

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19. 先化简再求值 $(2 a + 3 b) (3 b - 2 a) - (a - 3 b)^{2}$ ，其中 $| a - 1 | + (b + 2)^{2} = 0$ ．

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20.

(1)、解方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 1 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{array}$ ；

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} x + 2 (x - 1) \leq 1 \\ \frac{1 + x}{3} - x < 1 \end{array}$ ．

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21. 如图， $A D ∥ E F$ ， $∠ A E F + ∠ G D C = 180 °$ ． $∠ G D C$ 与 $∠ B A D$ 相等吗？为什么？

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，O为 $B C$ 的中点， $B D ∥ A C$ ，直线 $O D$ 交 $A C$ 于点E．

(1)、求证： $△ B D O ≌ △ C E O$ ；

(2)、若 $A C = 10 ， B D = 6$ ，求 $A E$ 的长．

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23. 如图，点 $P$ 是 $∠ A O B$ 的一边 $O A$ 上一点．请利用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．

⑴在 $∠ A O B$ 的内部求作射线 $O M$ ，使得 $∠ A O M = ∠ B O M$ ；
⑵求作直线 $P N$ ，使得 $P N / / O B$ ，交射线 $O M$ 于点 $N$ ；
⑶求作直线 $N H$ ，使得 $N H ⊥ O B$ 于点 $H$ ．

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24. 为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建A，B两类展位供当地的农产品展览和销售.1个A类展位的占地面积比1个B类展位的占地面积多4平方米；10个A类展位和5个B类展位的占地面积共 280 平方米．建A类展位每平方米的费用为120元，建B类展位每平方米的费用为100元．

(1)、求每个A，B类展位占地面积各为多少平方米？

(2)、该村拟建A，B两类展位共40个，B类展位的数量小于A类展位数量的2倍，且建造这40个展位的总费用不超过77000元，求该村共有哪些建设方案？

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25. 阅读下列材料：
我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式 $x^{2} + 2 x - 4$ 的最小值．
$x^{2} + 2 x - 4$ $= (x^{2} + 2 x + 1) - 5$ $= (x + 1)^{2} - 5$ ，可知当 $x = - 1$ 时， $x^{2} + 2 x - 4$ 有最小值，最小值是 $- 5$ ．
再例如：求代数式 $- 3 x^{2} + 6 x - 4$ 的最大值．
$- 3 x^{2} + 6 x - 4$ $= - 3 (x^{2} - 2 x + 1) - 4 + 3$ $= - 3 (x - 1)^{2} - 1$ ，可知当 $x = 1$ 时， $- 3 x^{2} + 6 x - 4$ 有最大值，最大值是 $- 1$ ．

(1)、【直接应用】代数式 $x^{2} + 4 x - 3$ 的最小值为；

(2)、【类比应用】若多项式 $M = a^{2} + b^{2} - 2 a + 3 b + 2023$ ，试求 $M$ 的最小值；

(3)、【知识迁移】如图，学校打算用长 $20$ 米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．

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26. 已知 $A B = D E$ ， $∠ A = ∠ D = α$ ，点P是射线 $D M$ 上的一个动点．

(1)、如图1，连接 $E P$ ，若 $α = 90 °$ ， $B C = E P$ ，求证： $△ A B C ≌ △ D E P$ ；

(2)、如图1，连接 $E P$ ，若 $90 ° < α < 180 °$ ， $B C = E P$ ，则 $△ A B C ≌ △ D E P$ 是否成立，若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；

(3)、如图2，连接 $E P$ ，若 $α = 40 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $B C = E P$ ，射线 $D Q$ 平分 $∠ E D P$ ，射线 $P Q$ 平分 $∠ E P D$ ，射线 $D Q$ 与射线 $P Q$ 相交于点Q，则 $∠ D Q P$ 的度数为．

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27. 定义：关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ （其中 $a \neq b \neq c$ ）中的常数项 $c$ 与未知数系数 $a$ ， $b$ 之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如： $a x + b y = c$ 的交换系数方程为 $c x + b y = a$ 或 $a x + c y = b$ ．

(1)、方程 $3 x + 2 y = 4$ 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为；

(2)、已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ 的系数满足 $a + b + c = 0$ ，且 $a x + b y = c$ 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $m x + n y = p$ 的一个解，求代数式 $(m + n) m - p (n + p) + 2023$ 的值；

(3)、已知整数 $m$ ， $n$ ， $t$ 满足条件 $t < n < 8 m$ ，并且 $(10 m - t) x + 2023 y = m + t$ 是关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $(1 + n) x + 2023 y = 2 m + 2$ 的“交换系数方程”求 $m$ 的值．

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