【备考2024】真题变式分层练：第23题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-10-03 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知 $f (x) = 2 | x | + | x - 2 |$

(1)、求不等式 $f (x) \leq 6 - x$ 的解集；

(2)、在直角坐标系 $x O y$ 中，求不等式组 ${\begin{array}{l} f (x) \leq y \\ x + y - 6 \leq 0 \end{array}$ 所确定的平面区域的面积．

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二、基础

2. 已知函数f（x）=|x-1|+|2x-a|．

(1)、当 $a = 3$ 时，解不等式 $f (x) \leq 2$ ；

(2)、若不等式 $| x - 1 | + f (x) < 3$ 的解集非空，求实数 $a$ 的取值范围．

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3. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + 2 | x - 1 |$ .

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 4$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq | x - a |$ 的解集包含集合 $[- 1 ， 1]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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4. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 9 | - | x - 5 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 2 x - 1$ 的解集；

(2)、函数 $y = f (x) + 3 | x - 5 |$ 的最小值为m，正实数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = m$ ，求 $a + 3 b$ 的最小值．

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5. 已知函数 $f (x) = | x - m | + | x - 2 |$ ．

(1)、若m＝0，求不等式 $f (x) \geq x + 2$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为3，求m的值．

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6. 已知函数 $f (x) = | x + 4 a | + m | x - \frac{1}{a} |$ .

(1)、当 $m = 2 ， a = 1$ ，求不等式 $f (x) \leq 15$ 的解集；

(2)、当 $m = 1$ 时，证明： $f (x) \geq 4$ .

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7. 已知 $f (x) = | x - 2 | - | a x + 2 |$ .
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 1$ 的解集；
（Ⅱ）若 $x \in (0 ， 2)$ 时，不等式 $f (x) + x > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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8. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | 2 x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq a^{2} - \frac{5}{2} a$ 的解集为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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9. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 | x - 2 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 7$ 的解集；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上的最小值为m，正数a，b满足 $a + b = m$ ，求证： $\frac{a^{2} + b^{2}}{a} \geq 8 \sqrt{2} - 8$ ．

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10. 已知函数 $f (x) = | x - a | + 3 | x - 1 |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 7$ 的解集；

(2)、若对任意 $x \in [2 ， 3]$ ，使得不等式 $f (x) ⩽ x^{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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11. 已知 $f (x) = | a x + a - 4 | + x + 1$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，解不等式 $f (x) < 9$ ；

(2)、若 $x \geq 2$ 时， $f (x) \leq {(x + 2)}^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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12. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - | x + 2 |$ .

(1)、解不等式： $f (x) > 1$ .

(2)、记 $f (x)$ 的最大值为 $m$ .若正实数 $a ， b$ 满足 $a + 2 b = m$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值.

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13. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集.

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $m^{2} + 2 n^{2}$ ，证明： $\frac{m^{2} n^{2}}{2 m^{2} + n^{2}} \leq \frac{1}{3}$ .

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14. 已知函数 $f (x) = | 2 x - t | + 2 | x + t |$ ．

(1)、当 $t = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 6$ ；

(2)、当 $t > 0$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $6$ ，且正数 $a ， b$ 满足 $a + b = t$ ．求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a b}$ 的最小值．

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15. 已知函数 $f (x) = | 3 x + 3 | - | 2 x - 6 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq x - 4$ 的解集；

(2)、设 $f (x)$ 的最小 $f (x)$ 为m，若正实数a，b，c满足 $a + b + c = - m$ ，求 $\frac{a^{2}}{c} + \frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b}$ 的最小值．

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三、提升

16. 设函数 $f (x) = | 2 x - 2 | + | x + 2 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 6 - x$ ；

(2)、令 $f (x)$ 的最小值为T，正数 $a ， b ， c$ 满足 $a + b + c = T$ ，证明： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} \geq \frac{16}{3}$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + 2 | x - 2 |$ ．

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、求不等式 $f (x + 2) > f (x)$ 的解集．

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18. 已知存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $| x_{0} + a | - | x_{0} - 2 b | \geq 4$ 成立，a， $b \in R_{+}$ ．

(1)、求 $a + 2 b$ 的取值范围；

(2)、求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | + | 2 x + 1 |$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正数，且 $f (a) + f (b) + f (c) = 18$ ，证明： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = s i n (x + φ) (φ \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}))$ ，对任意 $x \in R$ 都有 $f (\frac{π}{3} + x) = f (- x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、对于任意 $x \in R$ ，不等式 $| f (x) - 1 | \leq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = | a x + 2 | + | 2 x - a |$ （ $a \in R$ ）.

(1)、当a=1时，求不等式 $f (x) < 6$ 的解集．

(2)、当 $- 1 \leq a \leq 3$ 时，求 $f (a - 1)$ 的最大值与最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = | 4 x - 3 | + | 4 x + 5 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 10$ 的解集；

(2)、设m， $n \in R_{+}$ ，且 $m + 2 n = 2$ ，求证： $2^{\sqrt{m + 1}} \cdot 2^{\sqrt{2 n + 1}} < f (x)$ 恒成立．

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x - 2 |$ .

(1)、若不等式 $f (x + \frac{2}{3}) \geq | t - 1 |$ 的解集为 $(- \infty ， - \frac{1}{3}] ∪ [\frac{1}{3} ， + \infty)$ ，求实数 $t$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) \leq | 3 x + 1 | + 3^{y} + m \cdot 3^{- y}$ 对任意 $x$ ， $y$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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四、培优

24. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - | x - 2 |$ ， $g (x) = | 2 x - 1 |$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若a>0，b>0，且 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，不等式 $4 f (x) \leq \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{2 b^{2}}$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围．

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25. 已知函数 $f (x) = | 3 x - 4 | + | 2 x |$ .

(1)、求不等式 $f (x) > 5$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in R ， f (x) > m (x + 1)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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26. 若函数 $f (x) = | x - t | - 2 | x + 3 | (t > 0)$ 的最大值为5．

(1)、求t的值；

(2)、已知a>0，b>0，且a+2b=t，求 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值．

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27. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | + | 1 - x |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

(2)、函数 $f (x)$ 最小值为 $k ， \frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = k (a > 0 ， b > 0 ， c > 0)$ ，求 $3 a + 2 b + c$ 的最小值．

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28. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 a x + a^{2}} + | x - 2 a + 1 | ， a \in R ，$

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若对 $\forall m \in (0 ， 6) ， \forall x \in R ，$ ，不等式 $f (x) > m \sqrt{12 - 2 m}$ 恒成立，求a的取值范围.

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29. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 4$ 的解集；

(2)、设 $g (x) = f (x) - | x - 2 |$ ，若 $g (x)$ 的最小值为m，实数a，b，c均为正，且 $a + b + c = m$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的最小值.

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30. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | x + b | (a > 0 ， b > 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 2$ 时，解不等式 $f (x) < x + 8$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值是2，证明： $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b + 2} + \frac{1}{a b} \geq \frac{5}{3}$ ．

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