【备考2024】真题变式分层练：第22题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-10-03 类型：二轮复习

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一、原题

1. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 s i n θ (\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ ，曲线 $C_{2}$ ： ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数， $\frac{π}{2} < α < π$ ）.

(1)、写出 $C_{1}$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $y = x + m$ 既与 $C_{1}$ 没有公共点，也与 $C_{2}$ 没有公共点，求 $m$ 的取值范围．

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二、基础

2. 在直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数）．

(1)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若点 $P (1 ， 0)$ ，直线l与圆 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值．

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3. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{2}{1 + s i n^{2} θ}$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程， $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知 $N$ 为曲线 $C_{1}$ 的圆心，点M为曲线 $C_{2}$ 上一动点，求 $| M N |$ 的最大值．

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t + \frac{1}{t} \\ y = t - \frac{1}{t} \end{array}$ （t为参数），曲线 $C_{2} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若射线 $θ = \frac{π}{6} (ρ \geq 0)$ 分别与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 相交于A，B两点，求 $△ C_{2} A B$ 的面积.

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5. 在直角坐标系 $x o y$ 中，已知曲线 $C_{1} ： {\begin{array}{l} x = 2 + 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数， $θ \in [0 ， π]$ ），在极坐标系中，曲线 $C_{2}$ 是以 $(1 ， \frac{π}{2})$ 为圆心且过极点O的圆．

(1)、分别写出曲线 $C_{1}$ 普通方程和曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $l ： θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ 与曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别交于M、N两点（异于极点O），求 $| M N |$ ．

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6. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的直角坐标方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + c o s α \\ y = 2 + s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求直线l和曲线C的极坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C交于A，B两点，求 $\frac{1}{| O A |} + \frac{1}{| O B |}$ ．

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7. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} c o s θ + 2 \\ y = \sqrt{2} s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），直线 $l$ 过原点，且倾斜角为 $α$ ．以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C$ 和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、已知曲线 $C$ 与直线 $l$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| O A | + | O B | = 3$ ，求直线 $l$ 的直角坐标方程．

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8. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} c o s φ \\ y = s i n φ \end{array}$ （其中 $φ$ 为参数），曲线 $C_{2} ： x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ ，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 $l ： θ = α (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1}$ 在 $x$ 轴上方交于点 $A$ ，与曲线 $C_{2}$ 交于点 $B$ （异于原点 $O$ ）.

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、当 $α = \frac{π}{3}$ 时，求 $| A B |$ 的值.

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9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C_{1} ： θ = θ_{0} (θ_{0} \in (0 ， π) ， ρ \geq 0)$ .与曲线 $C_{2} ： ρ^{2} - 4 ρ s i n θ + 3 = 0$ 相交于P，Q两点.

(1)、写出曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程，并求出 $θ_{0}$ 的取值范围；

(2)、求 $\frac{1}{| O P |} + \frac{1}{| O Q |}$ 的取值范围.

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10. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \sqrt{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系 $x O y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，圆 $C$ 的方程为 $ρ = 2 \sqrt{5} s i n θ$ .

(1)、求圆 $C$ 的参数方程；

(2)、设圆 $C$ 与直线 $l$ 交于点 $A ， B$ ，求弦长 $| A B |$ .

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11. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s φ \\ y = s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数）．

(1)、在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；

(2)、若点A，B为曲线C上的两个点且 $O A ⊥ O B$ ，求证： $\frac{1}{| O A |^{2}} + \frac{1}{| O B |^{2}}$ 为定值．

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12. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = s i n θ + c o s θ \\ y = s i n 2 θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 方程为 $x - \sqrt{3} y = 2 \sqrt{3}$

(1)、写出 $l$ 的极坐标方程和曲线C的普通方程；

(2)、点A为曲线C上一动点，点B为直线 $l$ 上一动点，求 $| A B |$ 的最小值.

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三、提升

13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 3 c o s α \\ y = 3 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程是 $ρ c o s θ + 2 ρ s i n θ - 12 = 0$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设射线 $l_{1} ： θ = \frac{π}{4} (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C$ 交于点 $A$ ，与直线 $l$ 交于点 $B$ ，求 $| A B |$ 的值．

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14. 已知曲线 $C$ 的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s φ \\ y = \sqrt{3} s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 是参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、写出曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若点 $A (ρ_{1} ， θ)$ ， $B (ρ_{2} ， θ + \frac{π}{3})$ ， $C (ρ_{3} ， θ + \frac{2 π}{3})$ 在曲线 $C$ 上，求 $\frac{1}{| O A |^{2}} + \frac{1}{| O B |^{2}} + \frac{1}{| O C |^{2}}$ 的值．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C ： {\begin{array}{l} x = c o s α \\ y = 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线 $l ： {\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 3 - 2 t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线C和直线l的极坐标方程；

(2)、点P在直线l上，射线 $O P$ 交曲线C于点R，点Q在射线 $O P$ 上，且满足 $5 {| O R |}^{2} = 4 | O P | | O Q |$ ，求点Q的轨迹的直角坐标方程.

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16. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = s i n α + \sqrt{2} c o s α ， \\ y = s i n α - \sqrt{2} c o s α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.

(1)、写出C的普通方程和极坐标方程：

(2)、设直线 $θ = β (ρ \in R)$ 与C交于点A，B，求 $| A B |$ 的最大值.

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17. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线M的方程为 $y = \sqrt{- x^{2} + 4 x}$ ，曲线N的方程为 $x y = 9$ ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)、求曲线M，N的极坐标方程；

(2)、若射线 $l ： θ = θ_{0} (ρ \geq 0 ， 0 < θ_{0} < \frac{π}{2})$ 与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且 $| O A | \cdot | O B | = 12$ ，求 $θ_{0}$ ．

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18. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + \sqrt{5} c o s t \\ y = 2 + \sqrt{5} s i n t \end{array}$ （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ c o s θ - 3 ρ s i n θ - 1 = 0$ ，直线 $l_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ．

(1)、求C的极坐标方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与C相交于A，B两点，P为直线 $l_{2}$ 上的动点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + \sqrt{2} c o s θ \\ y = 1 + \sqrt{2} s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设射线 $l_{1} ： θ = π (ρ \geq 0)$ 和射线 $l_{2} ： θ = \frac{π}{2} + α (ρ \geq 0 ， 0 \leq α < \frac{π}{2})$ 分别与曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = b c o s t \\ y = 2 + b s i n t \end{array}$ （t为参数， $b > 0$ ）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = - 4 c o s θ$ ．

(1)、说明 $C_{1}$ 是什么曲线，并将 $C_{1}$ 的方程化为极坐标方程；

(2)、直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $ρ s i n θ + ρ c o s θ + 1 = 0$ ，是否存在实数b，使 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点都在 $C_{3}$ 上，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 3 c o s α \\ y = 3 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是 $2 ρ c o s θ - ρ s i n θ - 1 = 0$ .

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C交于A，B两点，点 $P (0 ， - 1)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ + \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 ρ c o s θ - 3 = 0$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设 $P (3 ， 1)$ ，曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的交点为A，B，求 $\frac{| P A | + | P B |}{| A B |}$ 的值.

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23. 在直角坐标系xOy中，已知点 $P (\sqrt{3} ， 2)$ ，直线l的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是 $ρ^{2} = (2 ρ - s i n θ) s i n θ + (2 ρ - c o s θ) c o s θ$ ．

(1)、求l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)、设l与C相交于点A，B，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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四、培优

24. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} c o s α \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ - \frac{π}{6}) - \sqrt{3} m = 0$ ．

(1)、写出 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (0 ， 2 m)$ ，若l与C交于A，B两点，且 $| P A | | P B | = \frac{3}{2}$ ，求m的值．

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25. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} s i n (θ + \frac{π}{4})$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知直线 $l$ 过点 $P (1 ， 0)$ ， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $Q$ 为弦 $A B$ 的中点，且 $\frac{| P Q |}{| P A | + | P B |} = \frac{1}{3}$ ，求 $l$ 的斜率．

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26. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $M$ 的方程为 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ，曲线 $N$ 的方程为 $x y = a$ $.$ 以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4}$ $.$

(1)、求曲线 $M$ ， $N$ 的极坐标方程；

(2)、若 $a > 0$ ，直线 $l$ 与曲线 $M$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，与曲线 $N$ 的一个交点为点 $C$ ，且 $\frac{1}{| O A |} + \frac{1}{| O B |} + \frac{1}{| O C |} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值 $.$

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27. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 8 s i n θ$ ， $A$ 为曲线 $C$ 上一点．

(1)、求 $A$ 到直线 $l$ 距离的最大值；

(2)、若点 $B$ 为直线 $l$ 与曲线 $C$ 在第一象限的交点，且 $∠ A O B = \frac{7 π}{12}$ ，求 $△ A O B$ 的面积．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} s i n (θ + \frac{π}{4})$ ．

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、设点 $P (4 ， 3)$ ，直线l与曲线C的交点为A，B，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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