【备考2024】真题变式分层练：第21题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-10-03 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + a) l n (1 + x)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、是否存在a，b，使得曲线 $y = f (\frac{1}{x})$ 关于直线 $x = b$ 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.

(3)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 存在极值，求a的取值范围.

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二、基础

2. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b l n x (a ， b \in R)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点(1， $f (1)$ )处的切线方程为 $2 x - y - 2 = 0$ ．

(1)、求a、b的值；

(2)、求证：当m≥，x＞1时，不等式m(e^x-e)>ef(x)恒成立．

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3. 已知函数 $f (x) = (x + 1) l n x - a x + a$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 在点 $x = 1$ 处的切线倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，求a的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，求a的最大值.

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4. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x (a \in R ， b \in R)$ ，其图象在点 $(1 ， 4)$ 处的切线方程为 $y = 4$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 4]$ 上的最值.

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5. 已知函数 $f (x) = x l n x + (2 - k) x + 2 k - 3$ ， $k ∈ Z$

(1)、当 $k = 2$ 时，求曲线 $f (x)$ 在点 $(e ， f (e))$ 处的切线方程；

(2)、若 $x > 2$ ，总有 $f (x) > 0$ ，求 $k$ 的最大值.

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6. 已知函数 $f (x) = a l n x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e ， f (e))$ 处的切线方程；

(2)、若 $0 < a < 2 e$ ，证明： $f (x) < \frac{8 e^{x - 2}}{x}$ .

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7. 已知函数 $f (x) = e^{x} c o s x - 2 x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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8. 已知函数f(x)=e^x+m+(m+1)x-xln x.

(1)、若m=0，求f(x)的图象在x=1处的切线方程；

(2)、若f(x)有两个极值点x₁ ， x₂ ，证明：x₁x₂<1.

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9. 设函数 $f (x) = (x - 1)^{2} e^{x} - a x$ ，若曲线 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = - 2 x + b$ ．

(1)、求实数 $a ， b$ 的值．

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有两个零点．

(3)、记 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为 $f (x)$ 的两个零点，证明： $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > - a$ ．

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x - 16$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， - 6)$ 处的切线方程；

(2)、直线 $l$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线，且经过原点，求直线 $l$ 的方程及切点坐标．

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + \frac{5}{3}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数在区间 $[- 1 ， 4]$ 的最大值与最小值．

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三、提升

12. 已知函数 $f (x) = (x + 2) l n x - e x$ ． ( $e = 2.71828 …$ 为自然对数的底数)
（参考数据： $l n 2 \approx 0.693$ ， $\frac{2}{e} \approx 0.736$ ）

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、证明：当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x) + e > 0$ ．

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13. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - (a + 2) x$ ， $h (x) = l n x$ ，令 $f (x) = g (x) + h (x)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $a$ 为正数且 $1 \leq x \leq e$ 时， $f (x)_{m i n} = - 2$ ，求 $a$ 的最小值；

(3)、若 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 2$ 对一切 $0 < x_{1} < x_{2}$ 都成立，求 $a$ 的取值范围．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{- x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 有唯一的实数根，直接写出实数 $k$ 的取值范围．

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a s i n x - 1 (a \in R)$ ，

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 时取得极小值，求 $a$ 的值；

(3)、若存在实数 $m$ ，使对任意的 $x \in (0 ， m)$ ，都有 $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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16. 已知函数 $f (x) = x l n x - a (x^{2} - 1)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $y = f^{'} (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值；

(3)、若不等式 $f (x) \leq 0$ 对 $x \in [1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + a) l n (1 + x)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (x))$ 处的切线方程.

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{2} - a e^{x} + x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，直线 $y = k x + b$ 过点 $(x_{1} ， f (x_{1})) ， (x_{2} ， f (x_{2}))$ .
（i）证明： $k > f^{'} (l n \frac{a}{2})$ ；

（ii）证明： $b < \frac{1}{2} - a$ .

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19. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + (a + 2) x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，若关于x的不等式 $f (x) \leq - \frac{2}{a} + b - 1$ 恒成立，求实数b的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ 时，证明： $l n (n + 1) \geq 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ⋯ + \frac{1}{n + 1}) - n l n 2$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = a x - e^{x} + \sqrt{x + 1 - b} ， g (x) = 1 - c o s x - \frac{1}{2} x^{2}$ .

(1)、若 $a = e - 1 ， b = \frac{7}{4}$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明： $g (x) \leq 0$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{2} c o s \sqrt{2 b}$ ，证明： $f (x) \leq 0$ .

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + m x^{3} - n x^{2} - x$ （其中e为自然对数的底数），且曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = - x$ ．

(1)、求实数m，n的值；

(2)、证明：对任意的 $x \in R$ ， $f (x) \geq 3 x^{3} - 5 x^{2} + 1$ 恒成立．

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四、培优

22. 已知函数 $f (x) = 3 (1 - x) l n (1 + x) + s i n π x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) = m$ 在 $[0 ， 1]$ 上有两个不等的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $| x_{1} - x_{2} | \leq 1 - \frac{2 m}{π + 3}$ .

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23. 设函数 $f (x) = x - x^{3} e^{a x + b}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + 1$ ．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(3)、求 $f (x)$ 的极值点个数．

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24. 已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{2}) l n (x + 1)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处切线的斜率；

(2)、当 $x > 0$ 时，证明： $f (x) > 1$ ；

(3)、证明： $\frac{5}{6} < l n (n!) - (n + \frac{1}{2}) l n (n) + n \leq 1$ ．

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25. 已知函数 $f (x) = (1 - x) e^{x} + a l n x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 存在大于 $1$ 的零点 $x_{0}$ ，设 $f (x)$ 的极值点为 $x_{1}$ ；
①求 $a$ 的取值范围；

②证明： $3 x_{1} > 2 x_{0}$ ．

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26. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + e^{- x + 1}$ ， $g (x) = a (x^{2} - 2 x) (a < 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的零点个数．

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27. 已知函数 $f (x) = a (1 - \frac{1}{x^{2}}) - \frac{l n x}{x^{2}} + (x - 1)^{2}$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明：当 $0 < a < \frac{1}{2}$ 时，对任意 $x \in (\frac{1}{a} - 1 ， + \infty)$ ，总有 $f (x) > {(\frac{1}{a} - 2)}^{2}$ ．

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28. 已知函数 $f (x) = x^{2} (l n x - \frac{3}{2} a)$ ， a为实数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = e$ 处取得极值， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $2 < x_{1} + x_{2} < e$

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