【备考2024】真题变式分层练：第20题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-10-03 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知椭圆C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A (- 2 ， 0)$ 在C上.

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $(- 2 ， 3)$ 的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.

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二、基础

2. 已知 $A (2 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴的两个端点，C的焦距为2． $M (3 ， 0)$ ， $N (\frac{4}{3} ， 0)$ ， P是椭圆C上异于A ， B的动点，直线PM与C的另一交点为D ，直线PN与C的另一交点为E ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、证明：直线DE的倾斜角为定值．

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3. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过椭圆右焦点 $F$ 作两条互相垂直的弦 $A B$ 与 $C D$ ．当直线 $A B$ 的斜率为0时， $| A B | = 4$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求使 $| A B | + | C D |$ 取最小值时直线 $A B$ 的方程．

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4. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M (0 ， 2)$ 是椭圆 $C$ 的一个顶点， $△ F_{1} M F_{2}$ 是等腰直角三角形．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $M$ 分别作直线 $M A$ ， $M B$ 交椭圆于A ， $B$ 两点，设两直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 8$ ，证明：直线 $A B$ 过定点．

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5. 已知圆S： $x^{2} + y^{2} + 4 x - 20 = 0$ ，点P是圆S上的动点，T是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点，Q为PT的中点，过Q作 $Q G ⊥ P T$ 交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过 $S (- 2 ， 0)$ 的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．

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6. 已知抛物线 $C ：$ $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1 ， 0)$ ，点 $M$ 在直线 $x = - 2$ 上运动，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 经过点 $M$ ，且与 $C$ 分别相切于 $A ， B$ 两点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、试问直线 $A B$ 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点坐标为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ 、 $F_{2} (1 ， 0)$ ，点 $A (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 为椭圆 $C$ 上一点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过点 $F_{2}$ 且倾斜角为 $4 5^{∘}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点， $O$ 为坐标原点，求 $△ O M N$ 的面积.

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8. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且其中一个焦点与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点重合．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = k x + 2$ 与椭圆 $E$ 交于不同的A，B两点，且满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 1$ （ $O$ 为坐标原点），求弦长 $| A B |$ 的值．

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9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，（ $a > 0$ ， $b > 0$ ），过椭圆的右焦点 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交椭圆于 $A (2 ， 3)$ ， $B$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $M$ ， $N$ 是椭圆上位于 $A B$ 两侧的动点，当 $M$ ， $N$ 运动时，始终保持 $A B$ 平分 $∠ M A N$ ，求证：直线 $M N$ 的斜率为定值．

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点相同，曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2} ， P (2 ， y)$ 为曲线 $E$ 上一点且 $| P F | = 3$ .

(1)、求曲线 $C$ 和曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、过 $F$ 的直线交曲线 $C$ 于H、G两点，若线段 $H G$ 的中点为 $M$ ，且 $\vec{M N} = 2 \vec{O M}$ ，求四边形OHNG面积的最大值

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 经过点 $A (2 ， 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $y = x - 1$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的值．

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三、提升

12. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点 $(\frac{2 \sqrt{2}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $N (2 ， 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $S_{△ A O B}$ 的最大值.

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13. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且与双曲线 $y^{2} - x^{2} = \frac{1}{2}$ 有相同的焦距．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左、右顶点分别为 $A ， B$ ，过左焦点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $D ， E$ 两点（其中点 $D$ 在 $x$ 轴上方），求 $△ A E F$ 与 $△ B D F$ 的面积之比的取值范围．

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14. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}$ 有相同的焦点 $F_{1} ， F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $R ， S$ 两点，若 $R E ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ .求证：直线 $S E$ 的斜率 $k_{S E} = \frac{1}{2} k$ ；

(3)、 $A$ 为椭圆 $C$ 的右顶点，若过点 $G (3 ， 0)$ 且斜率不为0的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点， $O$ 为坐标原点.问： $x$ 轴上是否存在定点 $T$ ，使得 $∠ M T O = ∠ N T A$ 恒成立.若存在，请求出点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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15. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，过右焦点 $F$ 作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为 $M$ ， $N$ ．

(1)、写出椭圆右焦点 $F$ 的坐标及该椭圆的离心率；

(2)、证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；

(3)、若弦AB，CD的斜率均存在，求 $△ F M N$ 面积的最大值．

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16. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ， $△ A O B$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，且 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，若弦长 $| M N |$ 的取值范围为 $[\frac{8}{3} ， 2 \sqrt{2}]$ ，求斜率 $k$ 的取值范围．

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17. 椭圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + 3 y^{2} = 4$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆的左右顶点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为左右焦点， $P$ 为椭圆上的动点.

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积；

(3)、线 $P Q$ 、 $P R$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，是否存在位于第一象限的点 $P$ ，使得 $k_{1} k_{2} = 1$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A (- 1 ， 0) 、 B (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足： $k_{1} \cdot k_{2} = m$ ，其中 $m$ 是非零常数， $k_{1} 、 k_{2}$ 分别为直线 $P A 、 P B$ 的斜率.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $Γ$ 的方程，并讨论 $Γ$ 的形状与 $m$ 值的关系；

(2)、当 $m = - 4$ 时，直线 $y = k x + b$ 交曲线 $Γ$ 于 $C 、 D$ 两点， $O$ 为坐标原点.若线段 $C D$ 的长度 $| C D | = 2$ ， $△ C O D$ 的面积 $S = 1$ ，求直线 $C D$ 的方程.

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19. nbsp；已知 $A (- 2 ， 0)$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点，过点 $D (1 ， 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于P， Q( 异于点 $A)$ ，当直线的斜率不存在时， $P Q = 3$ ..

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、求△APQ面积的取值范围.

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ， A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是 $E$ 的左、右顶点， $| A C | = 4$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设 $P$ 为第一象限内E上的动点，直线 $P D$ 与直线 $B C$ 交于点 $M$ ，直线 $P A$ 与直线 $y = - 2$ 交于点 $N$ ．求证： $M N / / C D$ ．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左､右焦点，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上异于左､右顶点的一点， $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为 $2 + 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $Q$ 为椭圆上一点，直线 $O P ， O Q$ 的斜率分别记为 $k_{1} ， k_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，试探究 $O P^{2} + O Q^{2}$ 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P (2 ， \sqrt{2})$ 在椭圆C上，且满足 $\vec{P F_{2}} \cdot \vec{F_{2} F_{1}} = 0$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线 $l ： y = k x + m$ 与椭圆C交于不同的两点M，N，且 $O M ⊥ O N$ （O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程．

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23. 已知定点 $O_{2} (2 ， 0)$ ，点 $P$ 为圆 $O_{1} ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 32$ （ $O_{1}$ 为圆心）上一动点，线段 $O_{2} P$ 的垂直平分线与直线 $O_{1} P$ 交于点 $G$ .

(1)、设点 $G$ 的轨迹为曲线 $C$ ，求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $O_{2}$ 且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与（1）中曲线 $C$ 交于 $D ， E$ 两点，当 $\vec{O_{1} D} \cdot \vec{O_{1} E}$ 取最大值时，求 $△ O_{1} D E$ 的面积.

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四、培优

24. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，抛物线 $C_{2} ： (y - m)^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，且 $C_{1} ， C_{2}$ 的公共弦 $A B$ 过椭圆 $C_{1}$ 的右焦点.

(1)、当 $A B ⊥ x$ 轴时，求 $m ， p$ 的值，并判断抛物线 $C_{2}$ 的焦点是否在直线 $A B$ 上；

(2)、求 $m ， p$ 的值，使得抛物线 $C_{2}$ 的焦点在直线 $A B$ 上.

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25. 如图，已知点 $A (\sqrt{2} ， 1)$ 是椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的一点，顶点 $C (- 2 ， 0)$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 的离心率；

(2)、直线 $B D$ 交椭圆 $Γ$ 于 $B 、 D$ 两点（ $B 、 D$ 与 $A$ 不重合），若直线 $A B$ 与直线 $A D$ 的斜率之和为2，直线 $B D$ 是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

(3)、点 $E$ 、点 $G$ 是椭圆 $Γ$ 上的两个点，圆 $I ： {(x - \frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 是 $△ C E G$ 的内切圆，过椭圆 $Γ$ 的顶点 $M (0 ， b)$ 作圆 $I$ 的两条切线，分别交椭圆 $Γ$ 于点 $P$ 和点 $Q$ ，判断直线 $P Q$ 与圆 $I$ 的位置关系并证明.

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26. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆 $E$ 过 $T (2 ， 1)$ ，直线 $l$ ： $y = x + m$ 与椭圆 $E$ 交于 $A$ 、 $B$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设直线 $T A$ 、 $T B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} + k_{2} = 0$ ；

(3)、直线 $l'$ 是过点 $T$ 的椭圆 $E$ 的切线，且与直线 $l$ 交于点 $P$ ，定义 $∠ P T B$ 为椭圆 $E$ 的弦切角， $∠ P A B$ 为弦 $T B$ 对应的椭圆周角，探究椭圆 $E$ 的弦切角 $∠ P T B$ 与弦 $T B$ 对应的椭圆周角 $∠ T A B$ 的关系，并证明你的结论．

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27. 动点 $P$ 与两定点 $A_{1} (0 ， - \sqrt{2})$ ， $A_{2} (0 ， \sqrt{2})$ 的连线的斜率之积为 $- 2$ ，动点 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F (0 ， 1)$ 的直线与 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $y = \frac{12}{5}$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $O$ 为坐标原点，求四边形 $O A C B$ 的面积 $S$ 的最大值．

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28. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2} ， A_{1} ， A_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左､右顶点，过焦点且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为3.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程.

(2)、当直线 $m$ 过椭圆 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ 以及上顶点 $P$ 时，直线 $m$ 与椭圆 $C$ 交于另一点 $Q$ ，求此时的弦长 $| P Q |$ .

(3)、设直线 $l$ 过点 $A_{1}$ ，且与 $x$ 轴垂直， $M ， N$ 为直线 $l$ 上关于 $x$ 轴对称的两点，直线 $A_{2} M$ 与椭圆 $C$ 相交于异于 $A_{2}$ 的点 $D$ ，直线 $D N$ 与 $x$ 轴的交点为 $E$ ，当 $△ M A_{2} N$ 与 $△ M E N$ 的面积之差取得最大值时，求直线 $A_{2} M$ 的方程.

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