【备考2024】真题变式分层练：第19题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-10-03 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， $A D = \sqrt{5} D O$ ，点F在AC上， $B F ⊥ A O$ .

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A D O$ ；

(2)、证明：平面 $A D O ⊥$ 平面BEF；

(3)、求二面角 $D - A O - C$ 的正弦值.

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二、基础

2. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形，侧面 $P A D$ 为等腰直角三角形，且 $∠ P A D = \frac{π}{2}$ ，点 $F$ 为棱 $P C$ 上的点，平面 $A D F$ 与棱 $P B$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $E F / / A D$ ；

(2)、若 $P B ⊥ F D$ ， $A E = \sqrt{2}$ ，求证平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

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3. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A A_{1} = A C = 2 B C$ ， $E$ 为 $B B_{1}$ 上一点，且 $B E = 3 E B_{1}$ ，求二面角 $E - A_{1} C - B$ 的余弦值．

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4. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2．

(1)、证明： $C D_{1} / /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、证明：BD⊥平面 $A_{1} A C$ ；

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5. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，三条侧棱 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两垂直，且 $P A = P B = P C = 3$ ， $G$ 是 $△ P A B$ 的重心， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $P B$ 上的点，且 $B E ： E C = P F ： F B = 1 ： 2$ ．

(1)、求证：平面 $G E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求证： $E G$ 是直线 $P G$ 与 $B C$ 的公垂线；

(3)、求异面直线 $P G$ 与 $B C$ 的距离．

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6. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $O$ 、 $E$ 分别 $B D$ 、 $B C$ 的中点， $A B = A D = 2$ ， $C A = C B = C D = B D = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A O ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成角的余弦值的大小；

(3)、求点 $D$ 到平面 $A B C$ 的距离．

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7. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 是BC上一点.

(1)、若点D是BC的中点.求证 $A_{1} C ∥ 平面 A B_{1} D$ ；

(2)、若平面 $A B_{1} D$ ⊥平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，求证 $A D ⊥ B C$ .

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8. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC ， E为PB的中点．求证：

(1)、 $P D$ $∥$ 平面AEC；

(2)、平面AEC⊥平面PBD ．

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9. 如图①，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 9 0^{∘} ， A B = 3 ， D ， E$ 分别是 $A C ， B C$ 上的点，且满足 $D E / / A B$ .将 $△ C D E$ 沿 $D E$ 折起，得到如图②所示的四棱锥 $P - A B E D$ .

(1)、设平面 $A B P ∩$ 平面 $D E P = l$ ，证明： $l$ ⊥平面 $A D P$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{5} ， D E = 2$ ，求直线 $P D$ 与平面 $P E B$ 所成角的正弦值.

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10. 已知直角梯形 $B Q P C$ 中， $∠ C B Q = 90 °$ ， $B Q / / C P$ ， $B C = 1$ ， $B Q = 2$ ， $C P = 3$ ， $A$ 为 $B Q$ 的中点， $C D = \frac{1}{3} C P$ ，如图，将四边形 $A B C D$ 沿 $A D$ 向上翻折，使得平面 $A B C D$ $⊥$ 平面 $A D P Q$ .

(1)、在 $P D$ 上是否存在一点 $H$ ，使得 $C H / /$ 平面 $B D Q$ ？

(2)、求二面角 $B - P Q - C$ 的余弦值.

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P C D$ ，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ D C$ ．

(1)、求证； $A D ⊥ P C$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ， $A D = D C = D P = 2$ ， $∠ P D C = 12 0^{∘}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值．

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三、提升

12. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = 3$ ， $P A = B C = 2 A B = 2$ ， $P B = \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $B C ⊥ P B$ ；

(2)、若点 $E$ 为棱 $P A$ 上不与端点重合的动点，且 $C E$ 与平面 $P A B$ 所成角正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $E$ 点到平面 $P C D$ 的距离.

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $D G ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A E ∥ D G ∥ C F$ ， $A E = C F = \frac{1}{2} D G = 1$ .

(1)、证明： $B G ⊥ A C$ ；

(2)、若点 $D$ 到平面 $B E G F$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，求平面 $B E G F$ 与平面 $A D G E$ 所成角的大小.

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14. 如图，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形， $E ， F ， O$ 分别为 $P A ， P B ， A C$ 的中点， $A C = 16 ， P A = P C = 10$ .

(1)、设 $G$ 是 $O C$ 的中点，证明： $F G / /$ 平面 $B O E$ ；

(2)、求直线 $C F$ 与平面 $B O E$ 所成角的正弦值.

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15. 如图， $A B$ 是圆柱 $O O_{1}$ 的一条母线， $B C$ 是底面的一条直径， $D$ 是圆 $O$ 上一点，且 $A B = B C = 5$ ， $C D = 3$ .

(1)、求直线 $A C$ 与平面 $A B D$ 所成角正弦值；

(2)、求点 $B$ 到平面 $A C D$ 的距离.

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16. 如图，圆锥 $P O$ 的高为3， $A B$ 是底面圆 $O$ 的直径，PC，PD为圆锥的母线，四边形 $A B C D$ 是底面圆 $O$ 的内接等腰梯形，且 $A B = 2 C D = 2$ ，点 $E$ 在母线 $P B$ 上，且 $B E = 2 E P$ ．

(1)、证明：平面 $A E C ⊥$ 平面 $P O D$ ；

(2)、求平面 $A E C$ 与平面 $E A B$ 的夹角的余弦值．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $C D ∥ A B$ ， $∠ C = 90 °$ ， E为 $A B$ 的中点， $P E = B D$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ，且 $△ P A D$ 为正三角形.

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ .

(2)、求二面角 $A - P E - D$ 的正弦值.

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1} = 1$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， D，E分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， AC的中点．

(1)、判断多面体 $A B E D B_{1} C_{1}$ 是否为棱柱并说明理由；

(2)、求多面体 $A B E D B_{1} C_{1}$ 的体积；

(3)、求证：平面 $B C_{1} E / /$ 平面AB₁D．

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19. 如图所示，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{∘} ， D E ∥ B C ， B D = 2 A D = 4$ ， $D E = 1$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ P D E$ 的位置，使平面 $P D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，点 $M$ 满足 $\vec{C M} = 2 \vec{M P}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ M E$ ；

(2)、求二面角 $E - P B - C$ 的余弦值.

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20. 如图，四面体 $A B C D ， A D ⊥ C D ， A D = C D ， A C = 2 ， A B = 3 ， ∠ C A B = 6 0^{∘}$ ， $E$ 为 $A B$ 上的点，且 $A C ⊥ D E ， D E$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $3 0^{∘}$ ，

(1)、求三棱锥 $D - B C E$ 的体积；

(2)、求二面角 $B - C D - E$ 的余弦值.

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21. 如图，已知四棱锥 $S - A B C D$ 中， $∠ D A B = ∠ A B C = 2 ∠ A B D = 9 0^{∘}$ ， $△ S A B$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形且 $S D = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = \frac{1}{2} A D$ .

(1)、证明： $A D ⊥ S B$ ；

(2)、求平面 $B S A$ 与平面 $S C D$ 所成角的余弦值．

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四、培优

22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C / / A D$ ， $P A = A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ ， $E$ 为棱 $P D$ 的中点， $F$ 是线段 $P C$ 上一动点．

(1)、求证：平面PBC⊥平面 $P A B$ ；

(2)、若直线 $B F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，求平面 $A E F$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值

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23. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为等腰梯形， $A B ∥ C D$ ， $A D = D C = \frac{1}{2} A B$ ，且平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD， $P D ⊥ A D$ .

(1)、求证： $B D ⊥ P A$ ；

(2)、 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $3 0^{∘}$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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24. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F ∥ A B$ ， $A D = 2$ ， $A B = A F = 2 E F = 1$ ，点P为棱DF上一点（不含端点）．

(1)、当FP为何值时， $A P ⊥ P C$ ；

(2)、求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；

(3)、若P为DF中点，求点E到平面APC的距离．

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25. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，矩形 $B D E F$ 所在平面与平面 $A B C D$ 互相垂直，且 $A B = B C = B F = 1$ ， $A D = C D = \sqrt{3}$ ， $E F = 2$ ．

(1)、求证： $B C$ $⊥$ 平面 $C D E$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - D$ 的平面角的余弦值．

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26. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面 $A B C D ⊥$ 平面ABEF， $A D / / B C ， A F / / B E ， A D ⊥ A B ， A B ⊥ A F ， A D = A B = 2 B C = 2 B E = 2$ ．

(1)、已知点G为AF上一点，且AG=1，求证： $B G / /$ 平面DCE；

(2)、已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．

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27. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C ， A B = B C = 2 ， A D = P D = 4 ， ∠ B A D = 6 0^{∘}$ ， $A B = B C = 2$ ，点 $E$ 为 $P A$ 的中点．

(1)、求证： $B E$ $/ /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $C D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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28. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{3} ， A B = B C = 2 ， A A_{1} = 3 ， E$ 在棱 $B C$ 上，满足 $B E ： E C = 1 ： 2 ， F$ 在棱 $A A_{1}$ 上，满足 $\vec{A F} = λ \vec{A A_{1}}$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，证明： $A E$ $/ /$ 平面 $B C_{1} F$ ；

(2)、若平面 $B C_{1} F$ 与平面 $A B C D$ 所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{2}{5}$ ，求 $λ$ 的值.

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29. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为 $6 ， D$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $E$ 为 $B C$ 上一点，

(1)、若 $C E = 2$ ，证明： $D C$ $∥$ 平面 $A B_{1} E$ ；

(2)、当直线 $B D$ 与平面 $B_{1} E D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ ，求 $C E$ 的长度.

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30. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $A D ∥ B C ， A D = 2 B C ， E$ 为 $P B$ 上的点，且 $P E = 2 E B$ .

(1)、证明： $P D$ $/ /$ 面 $A C E$ ：

(2)、若 $P A ⊥$ 面 $A B C D ， A B ⊥ A D ， P A = A D$ ，面 $P B D ⊥$ 面 $P A C$ ，求二面角 $A - C E - D$ 的正弦值.

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