【备考2024】真题变式分层练：第18题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-10-03 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 1$ .

(1)、求 $s i n ∠ A B C$ ；

(2)、若D为BC上一点，且 $∠ B A D = 90 °$ ，求 $△ A D C$ 的面积.

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二、基础

2. 在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $5 (s i n A + s i n C) b = 12 a s i n C$ .

(1)、若 $a = 2 b - c$ ，求cosB的值；

(2)、是否存在△ABC ，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由.

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3. 已知 $△ A B C$ 内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，面积为S ，已知 $\frac{c o s B}{c o s C} = \frac{b}{2 a - c}$ ．

(1)、求角B；

(2)、若 $S = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ 且 $c < a$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $t a n A + t a n B = \frac{\sqrt{3} c}{a c o s B}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若a= $\sqrt{6}$ ， c=2， $∠ B A C$ 的角平分线交BC于D，求AD的长．

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c o s A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $\frac{a^{2}}{b c} = 2 - \sqrt{3}$ ，求角 $B$ ， $C$ 的大小．

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6. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $(a + c) (s i n A + s i n C) = b s i n B + 3 a s i n C$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $A C$ 边上中线长为 $\frac{\sqrt{7}}{2} ， a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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7. △ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ．已知 $b s i n A = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若△ABC为锐角三角形，且a＝2c ， $b = 2 \sqrt{6}$ ，求△ABC的面积．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，角 $α$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边经过点 $P (2 ， - 1)$ ，求下列各式的值：

(1)、 $s i n^{2} α + 3 s i n α c o s α$ ；

(2)、 $\frac{s i n (α + \frac{3 π}{2}) c o s (- α) t a n (π - α)}{s i n (π - α) c o s (\frac{π}{2} + α)}$ .

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9. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a ， b ， c ，且 $a s i n B + \sqrt{3} b c o s A = 0$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 4$ ， △ABC的面积 $S = 2 \sqrt{3}$ ，求△ABC的周长．

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10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 4 c o s C$ ．

(1)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的值；

(2)、若 $\frac{1}{t a n B} = \frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n C}$ ，求 $c o s A$ ．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 3$ ， $b c = a^{2} - b^{2} - c^{2}$ ．

(1)、求 $∠ B A C$ ；

(2)、过点A作 $A D ⊥ A B$ ，交线段 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = D C$ ，求 $A D$ ．

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12. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2．

(1)、若A+C=120°，a=2c，求边长c；

(2)、若A-C=15°，a= $\sqrt{2}$ csinA，求△ABC的面积．

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13. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{b}{s i n A + s i n C} = \frac{a - c}{s i n B} + \frac{c}{s i n A + s i n C}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 b c o s B$ ， $a = 3$ ，求 $B C$ 边上中线的长.

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三、提升

14. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $a c o s \frac{A + C}{2} = b s i n A$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 2 ， 2 A D = 3 C D$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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15. 在① $A = \frac{π}{3} ， a = \sqrt{3} ， b = \sqrt{2}$ ；② $a = 1 ， b = \sqrt{3} ， A = \frac{π}{6} ；$ ③ $a = \sqrt{2} ， b = \frac{\sqrt{6}}{2} ， B = \frac{π}{3}$ 这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
问题：在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，解三角形.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，且 $A D = 2$ .

(1)、若 $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $B D = 3$ ，求边 $A C$ 的取值范围.

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17. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $\vec{m} = (2 c ， a c o s B + b s i n A)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} ， s i n A)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，且满足 $a = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，满足 $a^{2} s i n C = a c c o s B s i n C + S$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $b s i n C + c s i n B = 6 s i n B$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c.

(1)、若 $B = \frac{π}{4}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ， $a = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、若点D是 $B C$ 边上一点，且 $C D = 2$ ， $B D = 1$ ， $b^{2} + 2 c^{2} = 9$ ，求 $A D$ 的长.

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $2 b c o s C = 2 a - c$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，且AC边上的中线长为 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、 $△ A B C$ 的外心O、重点G、垂心H依次位于同一直线上，这条直线叫欧拉线，证明：
（i） $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ ；

（ii） $\vec{O H} = 3 \vec{O G}$ ．

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21. 记 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $(2 b - c) c o s A = a c o s C$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、设 $B C$ 边上的高 $A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值．

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22. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} c = 2 a c o s (B - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求A的值；

(2)、若 $c = 2 ， b = 3$ ， BE为边AC的高，AD为边BC的中线，求 $\vec{A D} \cdot \vec{B E}$ 的值．

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四、培优

23. 在 $△ A B C$ 中，设角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $c s i n B + (a + \frac{c^{2}}{a} - \frac{b^{2}}{a}) s i n C = 2 c s i n A$ ，且三角形的外接圆半径为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求C的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $c o s 2 A - 2 s i n^{2} B + 1$ 的值；

(3)、设 $△ A B C$ 的外接圆圆心为O ，且满足 $s i n 2 B \cdot \vec{C B} + s i n 2 A \cdot \vec{C A} = 2 m \vec{C O} \cdot s i n A s i n B$ ，求m的值．

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24. 在 $Δ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ，点D在边 $A B$ 上， $B D = 1$ ，且 $D A = D C$ .

(1)、若 $Δ B C D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $C D$ ；

(2)、设 $∠ D C A = θ$ ，若 $A C = \sqrt{3}$ ，求 $θ$ .

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25. 在 $△ A B C$ 中，点P为 $△ A B C$ 所在平面内一点.

(1)、若点P在边BC上，且 $\vec{B P} = \frac{1}{3} \vec{P C}$ ，用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A P}$ ；

(2)、若点P是 $△ A B C$ 的重心.
①求证： $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ；

②若 $35 s i n A \cdot \vec{P A} + 21 s i n B \cdot \vec{P B} + 15 s i n C \cdot \vec{P C} = \vec{0}$ ，求 $c o s ∠ B A C$ .

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26. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $∠ A B C = \frac{2}{3} π$ ， $A B = 1$ ．

(1)、若 $A C = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $t a n ∠ C A D$ ．

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27. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(a - 2 b) (c o s A c o s B - s i n A s i n B) = c c o s A$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、已知 $a = 2$ ， $b = 3$ ，点 $D$ 是 $A B$ 边上的点，求线段 $C D$ 的最小值.

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28. 如图，为测量山高 $M N$ ，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角 $∠ M A N = 4 5^{∘}$ ， C点的仰角 $∠ C A B = 3 0^{∘}$ 以及 $∠ M A C = 7 5^{∘}$ ；从C点测得 $∠ M C A = 6 0^{∘}$ ，已知山高 $B C = 60 m$ ，求山高 $M N$ .

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29. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $c o s (A - B) = \sqrt{3} s i n B - c o s C$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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30. 在钝角三角形 $A B C$ 中， $A C = 2$ ， $A B = 3$ ， $S_{△ B A C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ .

(1)、求 $\vec{A D} \cdot \vec{B D}$ 的值；

(2)、已知 $P$ ， $A$ ， $C$ 三点共线，若 $\vec{P B} \cdot \vec{P C} \geq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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