【备考2024】真题变式分层练：第16题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-10-03 类型：二轮复习

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一、原题

1. 设 $a \in (0 ， 1)$ ，若函数 $f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{x}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则a的取值范围是.

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二、基础

2. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m}$ 满足 $f (2) < f (3)$ ，则 $m =$ .

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3. 若函数 $f (x) = k x - c o s x$ 在区间 $(0 ， π)$ 上单调递减，则 $k$ 的取值范围是．

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4. 已知函数 $f (x) = e^{| l n x - a |} (a \in R)$ ，记关于 $x$ 的方程 $f (x) = e$ 的所有实数根的乘积为 $g (a)$ ，若 $g (m^{2} - 2 m - 3) < 1$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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5. 已知函数 $f (x) = e^{x} l n x - a e^{x} (a \in R)$ ，若 $f (x)$ 在定义域上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是．

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6. 若不等式 $l n x - a x \leq 2 a^{2} - 3$ 对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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7. 若不等式 $a x^{2} > x^{2} - x - 1$ 对 $x \in (- \infty ， 0)$ 恒成立，则a的取值范围是．

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意实数a，b都有 $f (a + b) = f (a) + f (b) - 1$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ．若 $f (2) = 3$ ，则不等式 $f (x^{2} - x - 1) < 2$ 的解集为．

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9. 已知函数 $f (x) = x + l n x - 1$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是.

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10. 设函数 $f (x) = l n x - 2 m x$ （m为实数），若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数m的取值范围．

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11. 若不等式 $a x^{2} + a x + a + 3 \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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12. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} a \cdot x^{- 2} ， x > 1 ， \\ - x^{2} - a x - 5 ， x \leq 1 \end{array}$ 在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上是单调增函数，则a的取值范围为.

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三、提升

13. 函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x - 24)$ 的单调递增区间是.

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14. 函数 $y = l o g_{\frac{1}{2}} | x - 3 |$ 的单调递减区间是．

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15. 若偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $f (x^{2} - 3 x + 3) \geq 0$ 的解集是。

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16. 对任意的 $x \in [0 ， \frac{5}{2}]$ ，不等式 $\frac{t x - 1}{t^{2}} \leq e^{t^{2} - t x + 1}$ 恒成立，求正实数t的取值范围是.（其中 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数）

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17. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - 2 l n x - x^{2} + a x$ ，若 $f (x) > 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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18. 已知关于 $x$ 的不等式 $e^{x - 1} + a > a l n (a x - 2 a) (a > 0)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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19. 已知定义在R上的函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ，若 $f (e^{x}) + f (a x) < 0$ 有解，则实数a的取值范围是．

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20. 已知实数x，y满足 $e^{x} + x - 1 = \frac{e}{y + 1} - l n (y + 1)$ ，则 $e^{x} + 4 y$ 的最小值是．

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21. 已知 $f (x) = l o g_{\frac{1}{3}} (2 x^{2} - 2 a x + 5 a)$ 在区间 $(2 ， 3)$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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22. 若 $\forall x \in (- 1 ， 1) ， x^{2} - a x + 2 a < 0$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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23. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} + 2$ ，若有 $f (a) + f (a - 2) > 4$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、培优

24. 已知函数 $f (x) = a^{2} - | a | x$ ， $g (x) = \frac{2}{1 - x^{2}}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > g (x)$ 在 $x \in (0 ， 1)$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围是.

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25. 已知函数， $f (x) = x e^{x} - x - l n x - a$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围．

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26. 设函数 $f (x) = 2^{| x + 2 |} + c o s (\frac{π}{2} x)$ ，则使得 $f (x + 1) > f (2 x)$ 成立的 $x$ 的取值范围是．

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27. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ ，其导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，若 $f (x) = f (- x) - 2 s i n x$ ，且当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) > - c o s x$ ，则不等式 $f (x + \frac{π}{2}) > f (x) + s i n x - c o s x$ 的解集为．

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28. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x} ， g (x) = - e x^{2} + a x$ （ $e$ 是自然对数的底数），对任意的 $m \in (0 ， + \infty)$ ，存在 $n \in [1 ， 3]$ ，有 $f (m) \leq g (n)$ ，则 $a$ 的取值范围为.

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29. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + x$ ，若当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $| f (x + 1) | \leq a + 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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30. 已知不等式 $a^{x} l n a > a l n (x - 1) (a > 0 ， a \neq 1)$ ，对 $\forall x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，则a的取值范围是．

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