【备考2024】真题变式分层练：第13题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-10-03 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知点 $A (1 ， \sqrt{5})$ 在抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ 上，则A到C的准线的距离为.

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二、基础

2. 过点 $(1 ， - 4)$ ，且焦点在 $y$ 轴上的抛物线的标准方程是.

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3. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 12 x$ 的焦点为F， $M (x_{0} ， y_{0})$ 是抛物线C上一点，若 $| M F | = \frac{4}{3} x_{0}$ ，则 $x_{0} =$ ．

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4. 若抛物线 $C$ 的焦点到准线的距离为 $\sqrt{3}$ ，且 $C$ 的开口朝上，则 $C$ 的标准方程为．

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线分别交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点.若双曲线的离心率为2， $Δ A O B$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $p =$ .

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6. 抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点坐标为，若抛物线 $C$ 上一点 $M$ 的纵坐标为2，则点 $M$ 到抛物线焦点的距离为.

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7. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的准线方程是.

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8. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点F的射线与抛物线交于点A，与准线交于点B，若 $| A F | = 2 ， | B F | = 6$ ，则p的值为.

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9. 若抛物线 $x^{2} = 12 y$ 上的一点 $P$ 到坐标原点 $O$ 的距离为 $2 \sqrt{7}$ ，则点 $P$ 到该抛物线焦点的距离为.

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10. 已知点 $P (m ， n)$ 为抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 上的点，且点P到抛物线C的准线的距离为3，则 $m =$ .

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11. 已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，准线为 $y = - 1$ ，则抛物线 $C$ 的方程为．

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三、提升

12. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的动直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点，满足 $| A B | = 4$ 的直线 $l$ 有且仅有一条，则 $p =$ ．

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13. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A F | + 4 | B F |$ 的最小值是．

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14. 直线 $y = \sqrt{3} (x - 1)$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相交于A，B两点，且A在第一象限，F是抛物线的焦点，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ ．

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15. 已知 $P$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上的一个动点，直线 $l ： x = - 1$ ， $Q$ 为圆 $M ： (x + 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离与 $| P Q |$ 之和的最小值为．

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (4 ， 1)$ ， $P (x ， y)$ 为抛物线上一动点，则 $△ P A F$ 周长的最小值为.

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17. 已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的准线为l，圆E： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，点P，Q分别是抛物线C和圆E上的动点，点P到准线l的距离为d，则 $| P Q | + d$ 的最小值为.

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18. 已知点M在抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上，F是抛物线的焦点，直线 $F M$ 交x轴于点N，若M为线段 $F N$ 的中点，则焦点F坐标是， $| F N | =$ ．

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19. 设抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，抛物线在（2，1）处的切线为l，则F到l的距离为.

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20. 过抛物线 $C ： x^{2} = 2 y$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ ，若 $\vec{O E} = 3 (\vec{O A} + \vec{O B})$ （ $O$ 为坐标原点），且点 $E$ 在抛物线 $C$ 上，则直线 $l$ 的斜率为.

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21. 圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 的一条切线l，与抛物线 $y^{2} = x$ 相交于A，B两点，与x轴相交于点M．若 $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$ ，则切线l的斜率 $k =$ ．

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四、培优

22. 已知 $A ， B$ 为抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 上的两点， $M (- 1 ， 2)$ ，若 $\vec{A M} = \vec{M B}$ ，则直线 $A B$ 的方程为.

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23. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点F的直线l与抛物线交于 $A ， B$ 两点，点 $A ， B$ 在抛物线准线上的射影分别为 $A_{1} ， B_{1}$ ， $| A_{1} B_{1} | = 10$ ，点P在抛物线的准线上.若AP是 $∠ A_{1} A B$ 的角平分线，则点P到直线l的距离为.

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24. 过抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为 $45 °$ ，则线段AB的中点到x轴的距离是．

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25. 函数 $f (x) = \sqrt{\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4}} + \sqrt{\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} - 4 x + 13}$ 的最小值为.

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26. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，若 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ 在抛物线C上，且满足 $∠ P_{1} F P_{2} = ∠ P_{2} F P_{3} = ∠ P_{3} F P_{1} = \frac{2 π}{3}$ ，则 $| P_{1} F | + | P_{2} F | + | P_{3} F |$ 的最小值为.

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27. 已知倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，且与 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点（点 $P$ 在第一象限），若 $| P F | = 4$ ，则 $| Q F | =$ .

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28. 在棱长为4正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 、 $Q$ 分别是平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 、 $A B C D$ 上动点，且满足 $| B P | = \sqrt{17}$ ，点 $Q$ 到直线 $A D$ 距离等于 $| B Q |$ ，则 $| P Q |$ 最小值为.

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29. 过抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点的直线与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点.设 $D$ 为线段 $A B$ 的中点， $a > 0$ ，点 $P (a ， 1)$ ，若直线 $D P ∥ x$ 轴，且 $∠ A P B = \frac{π}{2}$ ，则 $a =$ .

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