【备考2024】真题变式分层练：第12题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-10-02 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知 $⊙ O$ 的半径为1，直线PA与 $⊙ O$ 相切于点A，直线PB与 $⊙ O$ 交于B，C两点，D为BC的中点，若 $| P O | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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二、基础

2. 已知等边三角形ABC的边长为 $a$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} + \vec{A C} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、 $- a^{2}$ B、 $a^{2}$ C、 $0$ D、 $\sqrt{3} a^{2}$

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3. $\vec{a}$ =（2，4） $\vec{b}$ =（﹣1，1），则2 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ =（　　）

A、（5，7） B、（5，9） C、（3，7） D、（3，9）

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4. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(3 \vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (5 \vec{a} + \vec{b})$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{7}$ ，若 $| \vec{a} | = 1$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 如图，在圆 $C$ 中， $A C = 5$ ，点 $A$ ， $B$ 在圆上， $A B = 4$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、 $25$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $16$

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6. 设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外， ${\vec{| B C |}}^{2} = 16$ ， $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A B} - \vec{A C} |$ ，则 $| \vec{A M} | =$ （）

A、8 B、4 C、2 D、1

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7. 正方形 $A B C D$ 的边长是2， $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\vec{E C} \cdot \vec{E D} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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8. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， ⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{π}{6} ， | \vec{a} - 2 \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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9. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ， $\vec{a} = (2 ， 0)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $\frac{1}{2}$

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10. 如图， $O$ 是平行四边形 $A B C D$ 所在平面内的一点，且满足 $∠ A O B = \frac{1}{2} ∠ B O C = \frac{π}{6} ， 2 \sqrt{3} | \vec{O A} | = 2 | \vec{O B} | = 3 | \vec{O C} | = 6$ ，则 $| \vec{O D} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6 ， A C = 3 ， ∠ B A C = \frac{2 π}{3} ， \vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、18 B、9 C、12 D、6

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12. 平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 相互垂直，已知 $\vec{a} = (6 ， - 8)$ ， $| \vec{b} | = 5$ ，且 $\vec{b}$ 与向量 $(1 ， 0)$ 的夹角是钝角，则 $\vec{b} =$ （）

A、 $(- 3 ， - 4)$ B、 $(4 ， 3)$ C、 $(- 4 ， 3)$ D、 $(- 4 ， - 3)$

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三、提升

13. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB ，其半径为3， $∠ A O B = 150 °$ ，点E ， F分别在 $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{C D}$ 上，且 $\vec{F E} = 2 \vec{O F}$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{O E}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 6 ， \frac{15}{2}]$ B、 $[3 - \frac{9 \sqrt{3}}{2} ， 6]$ C、 $[- \frac{3}{2} ， 3 + \frac{9 \sqrt{3}}{2}]$ D、 $[- 6 ， 3 + \frac{9 \sqrt{3}}{2}]$

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14. 在 $△ A B C$ 中， $P_{0}$ 是边 $A B$ 的中点，且对于边 $A B$ 上任意一点 $P$ ，恒有 $\vec{P B} \cdot \vec{P C} \geq \vec{P_{0} B} \cdot \vec{P_{0} C}$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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15. 设非零向量 $\vec{m} ， \vec{n}$ 满足 $| \vec{m} | = 4 ， | \vec{n} | = 2 ， | \vec{m} + \vec{n} | = 3$ ，则 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{11}{8} \vec{m}$ B、 $- \frac{11}{4} \vec{m}$ C、 $- \frac{11}{4} \vec{n}$ D、 $- \frac{11}{8} \vec{n}$

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16. 已知直线 $x + y = a (a > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A ､ B$ 两点，若 $| \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{O A} - \vec{O B} |$ ，其中 $O$ 为原点，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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17. 已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若 $A = \frac{π}{4}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O C}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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18. 在△ABC中，已知 $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ， $B C = 4$ ， $A C = 3$ ， D是边AB的中点，点E满足 $\vec{A E} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，则 $\vec{C D} \cdot \vec{D E} =$ （）

A、 $- \frac{5}{8}$ B、－1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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19. 已知在三角形ABC中， $A B = 3 ， A C = 2 ， ∠ A = 60 °$ ，点M，N分别为边AB，AC上的动点， $\vec{A M} = x \vec{A B} ， \vec{A N} = y \vec{A C}$ ，其中 $x ， y > 0 ， x + y = 1$ ，点P，Q分别为MN，BC的中点，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ B、 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{19}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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20. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $12 0^{∘}$ ，且 $| \vec{a} | ， | \vec{b} |$ 是函数 $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ 的两个零点.若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a} (λ > 2)$ ，则 $λ =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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21. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若对任意实数 $x$ ， $| x \vec{a} + \vec{b} | ≥ \frac{\sqrt{3}}{2}$ 恒成立，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ D、 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$

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22. 如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中，斜边 $B C = 4$ ， $M ， N$ 为线段BC上的动点，且 $M N = 1$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、4 D、6

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23. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $s i n (\frac{3 π}{2} - 2 θ) =$ （）

A、 $- \frac{18}{25}$ B、 $\frac{18}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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四、培优

24. 点 $A$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 1)$ 的右顶点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点（不与 $A$ 重合），若 $\vec{P O} \cdot \vec{P A} = 0$ （ $O$ 是坐标原点），则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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25. 已知D为正三角形ABC中边BC的中点，E在线段AC上且 $A E = \frac{1}{2} E C$ ，若AD与BE交于M，若 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = - 27$ ，则正三角形ABC的边长为（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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26. 已知M，N是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最大值是 $\frac{1}{4} a^{2}$ ，则椭圆C的离心率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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27. 设点 $A (1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，圆 $C_{1}$ ： ${(x + \sqrt{3})}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，点 $P$ 满足 $2 | P A | = | P B |$ ，设点 $P$ 的轨迹为 $C_{2}$ ， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于点 $M$ ， $N$ ， $Q$ 为直线 $O C_{1}$ 上一点（ $O$ 为坐标原点），则 $\vec{M N} \cdot \vec{M Q} =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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28. 已知 $A B$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的直径，点P是圆 $(x - a + 1)^{2} + (y - a - 1)^{2} = 1$ 的圆心，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、0

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29. 单位圆 $O ：$ $x^{2} + y^{2} = 1$ 上有两定点 $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， 1)$ 及两动点 $C ， D$ ，且 $\vec{O C} \cdot \vec{O D} = \frac{1}{2}$ .则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} + \vec{D A} \cdot \vec{D B}$ 的最大值是（）

A、 $2 + \sqrt{6}$ B、 $2 + 2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6} - 2$ D、 $2 \sqrt{3} - 2$

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30. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为（）

A、13 B、12 C、8 D、 $2 \sqrt{3}$

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