【备考2024】真题变式分层练：第11题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-10-02 类型：二轮复习

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一、原题

1. 设A，B为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(- 1 ， - 4)$

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二、基础

2. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{25 + k} - \frac{y^{2}}{9 - k} = 1 (0 < k < 9)$ ，则两双曲线的（）

A、实轴长相等 B、虚轴长相等 C、离心率相等 D、焦距相等

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，以 $F$ 为圆心， $a$ 为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为 $A ， B$ ．若 $∠ A F B = 60 °$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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4. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，直线 $x = c$ 与C的一个交点为P， $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 若双曲线的渐近线方程为 $y = \pm 3 x$ ，实轴长为 $2 a = 2$ ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{9} - x^{2} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{9} - x^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - y^{2} = 1$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $2 x - y = 0$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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7. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，以F为圆心， $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 为半径的圆F与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB为菱形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率 $e =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 的切线，若两条切线互相垂直，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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9. 双曲线 $\frac{y^{2}}{2 a^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 (a \neq 0)$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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10. 设双曲线 $C ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ， $A$ ， $B$ 两点在双曲线 $C$ 上且关于原点对称，若 $| A B | = 2 | O F |$ ， $| B F | = 3 | A F |$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{6} x \pm 2 y = 0$ B、 $2 x \pm \sqrt{6} y = 0$ C、 $2 x \pm 3 y = 0$ D、 $3 x \pm 2 y = 0$

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11. 如图，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，过点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点．若 $\vec{M F} = 3 \vec{F N} ， \vec{O M} = 3 \vec{O P} ， \vec{O P} \cdot \vec{P F} = 0$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ 交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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三、提升

13. $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，直线 $l$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线， $F_{1}$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $F_{1}^{'}$ ，且 $F_{1}^{'}$ 在以 $F_{2}$ 为圆心､ $b$ 为半径的圆上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0) ， O$ 为坐标原点， $F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线 $C$ 的两个焦点，点 $P$ 为双曲线上一点，若 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} | ， | O P | = b$ ，则双曲线 $C$ 的方程可以为（）

A、 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

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15. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 $M$ ．若 $| M F_{2} | = \sqrt{3} b$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，右支上一点 $P$ 到双曲线 $C$ 的两条渐近线的距离分别为 $d_{1} ， d_{2}$ ，若 ${| F_{1} F_{2} |}^{2} = 16 d_{1} d_{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm x$

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17. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两条渐近线与椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的四个交点及椭圆 $M$ 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 $M$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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18. 已知双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率相同，且双曲线 $C_{2}$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $M$ 是双曲线 $C_{2}$ 一条渐近线上的某一点，且 $O M ⊥ M F_{2}$ ， $S_{△ O M F_{2}} = 8 \sqrt{3}$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的实轴长为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、 $8 \sqrt{3}$

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19. 智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点 $F_{2}$ 发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点 $F_{1}$ ．已知入射光线 $F_{2} P$ 斜率为 $- \sqrt{3}$ ，且 $F_{2} P$ 和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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20. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c ， 0)$ ，点M在双曲线C的右支上， $A (0 ， b)$ ，若 $△ A M F$ 周长的最小值是 $2 c + 4 a$ ，则双曲线C的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\frac{5}{2}$ D、5

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21. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，直线l经过 $F_{1}$ 且与C左支交于P，Q两点，P在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上， $| P Q | ： | P F_{2} | = 3 ： 4$ ，则C的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{17}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为左、右焦点，P为曲线C上的动点，若 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线与x轴交于点 $M (1 ， 0)$ ，则 $| O P |$ 为（）

A、 $\sqrt{19}$ B、 $\sqrt{31}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、6

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四、培优

23. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $P (- 2 ， 0)$ 作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且 $| P F_{2} | = | F_{2} M |$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{3}$

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24. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与双曲线 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 有相同的渐近线，过双曲线 $C$ 右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，弦 $M N$ 的中点为 $G (6 ， 6)$ ，点 $P$ 是双曲线 $C$ 右支上的动点，点 $A$ 是以点 $F$ 为圆心， $1$ 为半径的圆上的动点，点 $B$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 6 y + 5 = 0$ 上的动点，则 $| P A | + | P B |$ 的最小值为（）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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25. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，点M，N在y轴上，且满足 $\vec{O M} + 2 \vec{O N} = \vec{0}$ （O为坐标原点）．直线 $M A_{1}$ ， $M A_{2}$ 与C的左、右支分别交于另外两点P，Q，若四边形 $P Q F_{2} F_{1}$ 为矩形，且P，N， $A_{2}$ 三点共线，则C的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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26. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $l$ ，使得它双曲线的一条渐近线垂直且垂足为点 $Q$ ， $l$ 与双曲线的右支交于点 $P$ ，若线段 $P Q$ 的垂直平分线恰好过 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、2

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27. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为 $C$ 的左、右焦点， $B (0 ， 4 b)$ ，直线 $B F_{2}$ 与 $C$ 的一支交于点 $P$ ，且 $\frac{| B P |}{| P F_{2} |} = λ (λ \geq 1)$ ，则 $C$ 的离心率最大值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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28. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，左焦点为 $F_{1}$ ，虚轴上端点为 $B$ ，直线 $l$ 与双曲线交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $l$ 与直线 $B F_{1}$ 的倾斜角互补，且点 $M (- 4 ， 1)$ 满足 $\vec{M P} + \vec{M Q} = \vec{0}$ ，双曲线的离心率为 $e$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 2}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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29. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是双曲线E上一点， $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线与x轴交于点Q， $\frac{S_{△ P F_{1} Q}}{S_{△ P F_{2} Q}} = \frac{5}{3}$ ，则双曲线E的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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30. 伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 的双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - x^{2} = 1 (a > 0)$ 上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则 $| P F |$ 与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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