【备考2024】真题变式分层练：第10题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-10-02 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $\frac{2 π}{3}$ ，集合 $S = {c o s a_{n} | n \in N^{*}}$ ，若 $S = {a ， b}$ ，则 $a b =$ （）

A、－1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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二、基础

2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 1 ， a_{2} a_{4} = 0$ ，则公差 $d =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- 1$ 或 $- \frac{1}{3}$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，若 $a_{1} ， a_{3} ， a_{4}$ 成等比数列， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{9}$ 等于（　　）

A、-8 B、-6 C、10 D、0

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，则 $S_{4} - a_{2} =$ （）

A、 $3 a_{1} + 4 d$ B、 $3 a_{1} + 5 d$ C、 $4 a_{1} + 4 d$ D、 $4 a_{1} + 5 d$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = - 2$ ， $a_{3} + a_{4} = 14$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 4 ， a_{3} + a_{5} = 4 (a_{4} - 1)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前5项和 $S_{5}$ 为（）

A、15 B、16 C、20 D、30

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7. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} = 1$ ， $a_{3} + a_{4} = 5$ ，则 $a_{2022} + a_{2023}$ =（）

A、2022 B、2023 C、4043 D、4044

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8. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 2$ ，且 $S_{4} = 10$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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9. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 5$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ ，那么这个数列的通项公式是（）

A、 $3 n - 1$ B、 $3 n + 2$ C、 $3 n - 2$ D、 $3 n + 1$

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} \neq 0$ ，而 $a_{9} = 0$ ，则 $\frac{a_{1} + a_{8} + a_{11} + a_{16}}{a_{7} + a_{8} + a_{14}} =$ （）

A、0 B、2 C、-1 D、 $\frac{1}{2}$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{4} + a_{19} = 0$ ，则 $S_{21} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 1 ， a_{3} + a_{4} = 8$ ，则 $S_{9}$ ＝（）

A、60 B、62 C、63 D、81

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三、提升

13. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{2} + a_{6} = 10 ， a_{4} a_{8} = 45$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、25 B、22 C、20 D、15

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14. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{2} + a_{7} = a_{8} + 1$ ，且 $a_{2} ， a_{4} ， a_{8}$ 成等比数列，则 $a_{2023} =$ （）

A、2023 B、-2023 C、0 D、 $\frac{1}{2023}$

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15. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 2$ ，若 $a_{1} ， a_{3} ， a_{7}$ 成等比数列，则 $a_{2023} =$ （）

A、2023 B、2024 C、4046 D、4048

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16. 记公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{2} ， a_{5} ， a_{10}$ 成等比数列， $S_{10} = 160$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、17 B、19 C、21 D、23

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17. 2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，问大雪、寒露的日影长之和为（）

A、21寸 B、20.5寸 C、20寸 D、19.5寸

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18. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} + S_{5} = 18 ， a_{6} = a_{3} + 3$ ，则数列 ${\frac{a_{n}}{n^{2} + 56}}$ 的最大项为（）

A、 $\frac{1}{57}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{1}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{56}$

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} + a_{5} = a_{4} + 7$ ， $a_{10} = 19$ ，则数列 ${a_{n} \cdot c o s n π}$ 的前2022项和为（）

A、1010 B、1011 C、2021 D、2022

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20. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $S_{3} = - 3$ ， $a_{5} = 2$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 为递减数列 B、 $a_{3} = 0$ C、 $S_{n}$ 有最大值 D、 $S_{6} = 0$

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21. 已知各项为正的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = \frac{1}{4} {(a_{n} + 1)}^{2}$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 6}{a_{n} + 3}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、4 C、3 D、2

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22. 南宋数学家在 $《$ 详解九章算法 $》$ 和 $《$ 算法通变本末 $》$ 中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前 $7$ 项分别为 $1$ ， $2$ ， $5$ ， $10$ ， $17$ ， $26$ ， $37$ ，则该数列的第 $20$ 项为（）

A、 $324$ B、 $325$ C、 $362$ D、 $399$

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23. 数列 $0 ， \frac{2}{3} ， \frac{4}{5} ， \frac{6}{7} ⋯$ 的一个通项公式是（）

A、 $a_{n} = \frac{n - 1}{n + 1} （ n \in N^{*})$ B、 $a_{n} = \frac{n - 1}{2 n + 1} （ n \in N^{*})$ C、 $a_{n} = \frac{2 （ n - 1 ）}{2 n - 1} （ n \in N^{*})$ D、 $a_{n} = \frac{2 n}{2 n + 1} （ n \in N^{*})$

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四、培优

24. 传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把 $1 ， 3 ， 6 ， 10 ， ⋯$ 叫做三角形数；把 $1 ， 4 ， 9 ， 16 ， ⋯$ 叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（）

A、36 B、49 C、64 D、81

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25. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{8} \geq S_{7} \geq S_{9}$ ，则公差 $d$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{2}{7} ， - \frac{4}{15}]$ B、 $[- \frac{2}{7} ， - \frac{1}{4}]$ C、 $[- \frac{4}{15} ， - \frac{1}{4}]$ D、 $[- \frac{2}{7} ， 0]$

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26. 记 $T_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项积，已知 $\frac{1}{T_{n}} + \frac{1}{a_{n}} = 1$ ，则 $T_{10} =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

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27. 如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为 $S_{n}$ ，设 $b_{n} = \sqrt{5 l o g_{2} (S_{n} + 1) - 1}$ ，将数列 ${b_{n}}$ 中的整数项依次取出组成新的数列记为 ${c_{n}}$ ，则 $c_{2023}$ 的值为（）

A、5052 B、5057 C、5058 D、5063

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28. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n} ， a_{5} = 9 ， a_{2} + a_{7} = 16$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $a_{n} = 2 n - 1$ B、 $a_{3} + a_{6} = 16$ C、 $S_{n} = n^{2} + n$ D、数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 和为 $\frac{n}{2 n + 1}$

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29. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，若 $a_{1} = 2 ， S_{15} = - 30$ ，则满足 $a_{n} \cdot a_{n + 1} < 0$ 的 $n$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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30. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则这个数列的第20项为（）

A、198 B、200 C、202 D、204

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