【备考2024】真题变式分层练：第9题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-10-02 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，AB为斜边， $△ A B D$ 为等边三角形，若二面角 $C - A B - D$ 为 $150 °$ ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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二、基础

2. 已知在三棱锥P-ABC中，PA＝PB， $△$ ABC为锐角三角形，且点P在平面ABC上的投影O₁为 $△$ ABC的垂心，O₂为 $△$ PAB的重心．若二面角P-AB-C的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $P O_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $P C = 2 \sqrt{3}$ ，则CO₂＝（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、3 D、1

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3. 如图，长方体 $A C_{1}$ 中， $D D_{1} = 8$ ， $A B = B C = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 上的动点， $A E + C F = 8$ .点 $P$ 在棱 $A A_{1}$ 上，且 $A P = 3$ ，若 $E F //$ 平面 $P B D$ ，则二面角 $F - B D - C$ 的正切值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、不确定

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4. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为 $B B_{1}$ 的中点，则平面 $A_{1} E D$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 已知E，F分别是正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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6. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，球 $O$ 与该正方体的各个面相切，则平面 $A C B_{1}$ 截此球所得的截面的面积为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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7. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 $A B = 25 m ， B C = A D = 10 m$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 $A B C D$ 的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ ，则该五面体的所有棱长之和为（）

A、 $102 m$ B、 $112 m$ C、 $117 m$ D、 $125 m$

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8. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 ， B C = 2 ， A A_{1} = 1$ ，则二面角 $D_{1} - B C - D$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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9. 如图所示， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为 $6$ 的正方体， $E$ 、 $F$ 分别是棱 $A B$ 、 $B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ .当 $A_{1}$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $C_{1}$ 共面时，平面 $A_{1} D E$ 与平面 $C_{1} D F$ 所成锐二面角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

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10. 已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列几种说法不正确的是 $($ 　　 $)$

A、 $A_{1} C_{1} ⊥ B D$ B、B₁C与BD所成的角为60° C、二面角 $A_{1} - B C - D$ 的平面角为 $45^{\circ}$ D、 $A C_{1}$ 与平面ABCD所成的角为 $45^{\circ}$

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12. 已知正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则CD与平面BDC₁所成角的正弦值等于（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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三、提升

13. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $∠ B A D = 90 °$ ， $P A = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $B C ∥ A D$ ，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角 $Q - P D - A$ 的平面角大小为 $\frac{π}{4}$ ，则 $△ A D Q$ 面积的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{3 \sqrt{5}}{5}]$ B、 $(0 ， \frac{2 \sqrt{5}}{5}]$ C、 $(0 ， \frac{3 \sqrt{10}}{5}]$ D、 $(0 ， \frac{2 \sqrt{10}}{5}]$

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14. 二面角 $α - l - β$ 中， $A B \subset α$ ， $A B ⊥ l$ ， $C D \subset β$ ， $C D ⊥ l$ ，且B、C为垂足， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $C D = 3$ ， $A D = \sqrt{17}$ ，则二面角 $α - l - β$ 大小为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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15. 木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40 $c m$ 的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 $c m$ 的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 在线段 $B_{1} C$ 上，有下列四个结论：
① $A B_{1} ⊥ C D_{1}$ ；
②点 $P$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；
③二面角 $A - B_{1} C - D_{1}$ 的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ；
④若四面体 $B_{1} A C D_{1}$ 的所有顶点均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的体积为 $2 \sqrt{3} π$ .
其中所有正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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17. 如图是由边长为2的正 $△ A B C$ 与正方形 $B C D E$ 拼接成的平面图形，现将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 折起，当二面角 $A - B C - D$ 为 $\frac{π}{6}$ 时，直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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18. 从空间一点 $P$ 向二面角 $α - l - β$ 分别作垂线 $P E ， P F ， E ､ F$ 为垂足.若 $∠ E P F = 6 0^{∘}$ ，则该二面角的平面角的大小为（）

A、60° B、120° C、60°或120° D、不确定

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19. 在矩形ABCD中，O为BD中点且 $A D = 2 A B$ ，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角 $A - B D - C$ 为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{25}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{25}$

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20. 已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为棱BC的中点，直线 $l$ 在平面A₁B₁C₁D₁内．若二面角 $A - l - E$ 的平面角为 $θ$ ，则 $c o s θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{11}{21}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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21. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1} ， A C = A A_{1}$ ，E，F分别是棱 $B C ， A_{1} C_{1}$ 上的点．记 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $α$ ， $E F$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $β$ ，二面角 $F - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $α \leq β \leq γ$ B、 $β \leq α \leq γ$ C、 $β \leq γ \leq α$ D、 $α \leq γ \leq β$

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四、培优

22. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°．
其中错误的结论是（　　）

A、① B、② C、③ D、④

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23. 已知点M是棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B C$ 的中点.过直线 $M D_{1}$ 作平面 $α$ ，记平面 $α$ 与棱 $A A_{1}$ 的交点为K，当平面 $α$ 与底面 $A B C D$ 所成的锐二面角最小时， $A K =$ （）

A、3 B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、1

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24. 已知边长为1的等边三角形 $A B C$ 与正方形 $A B D E$ 有一公共边 $A B$ ，二面角 $C - A B - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（）

A、2π B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$

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25. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $△ P C D$ 是等边三角形，平面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = 3$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $18 \sqrt{3}$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、线段 $A B$ 的长是（    ）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、6

(2)、平面 $P A B$ 与平面 $A B C D$ 所成二面角的正切值是（    ）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

(3)、直线 $D E$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值是（    ）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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26. 已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ =0，则二面角A﹣PB﹣C的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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27. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为 $A B ， B C$ 的中点，则（）

A、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $B D D_{1}$ B、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ C、平面 $B_{1} E F ∥$ 平面 $A_{1} A C$ D、平面 $B_{1} E F ∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$

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28. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E ， F$ （ $E$ 在 $F$ 的左边），且 $E F = \sqrt{2}$ ．下列说法不正确的是（）

A、当 $E$ 运动时，二面角 $E - A B - C$ 的最小值为 $4 5^{∘}$ B、当 $E ， F$ 运动时，三棱锥体积 $B - A E F$ 不变 C、当 $E ， F$ 运动时，存在点 $E ， F$ 使得 $A E / / B F$ D、当 $E ， F$ 运动时，二面角 $C - E F - B$ 为定值

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