【备考2024】真题变式分层练：第4题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

试卷更新日期：2023-09-30 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知 $f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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二、基础

2. 函数 $f (x) = x + s i n x$ 在 $R$ 上是（）

A、偶函数、增函数 B、奇函数、减函数 C、偶函数、减函数 D、奇函数、增函数

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3. 已知函数 $h (x)$ 是奇函数，且 $f (x) = h (x) + 2$ ，若 $x = 2$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个零点，则 $f (- 2) =$ （）

A、-4 B、0 C、2 D、4

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4. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = l o g_{2} x$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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5. 已知 $f (x)$ 是偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，若 $f (a) = 3$ ，则 $a =$ （）

A、 $\pm 1$ B、 $\pm 3$ C、 $- 1$ 或3 D、 $\pm 1$ 或 $\pm 3$

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6. 若函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ 为奇函数，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + 3 x + a$ ，则 $f (2)$ 的值为（）

A、 $\frac{23}{4}$ B、 $\frac{27}{4}$ C、 $- \frac{27}{4}$ D、 $- \frac{23}{4}$

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8. 已知函数 $f (x) = e^{- x} - e^{x} + \frac{1}{x} + 3$ ，若 $f (m) = 2$ ，则 $f (- m) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 4$ C、 $2$ D、 $4$

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9. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足对于任意的 $x ∈ R$ 都有 $f (x) = f (2 - x)$ ．若 $f (- 1) = 1$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、不能确定

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10. 下列各组函数是同一函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ 与 $g (x) = (x + 1)^{2}$ B、 $f (x) = \sqrt{- x^{3}}$ 与 $g (x) = x \sqrt{- x}$ C、 $f (x) = \frac{x}{x} 与 g (x) = \frac{1}{x^{0}}$ D、 $f (x) = \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 3}$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 9}$

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11. 函数 $y = s i n x \cdot l n \frac{x^{2} + 2}{x^{2}}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ， $B = {y | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A = B$ B、 $A ⊆ B$ C、 $B ⊆ A$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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三、提升

13. 已知函数 $f (x) = x (a + \frac{2}{1 + 2^{x}})$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、-1 B、-2 C、2 D、1

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14. 下列函数既是奇函数又在 $(- 1 ， 3)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{2} - x$ B、 $y = 2^{x}$ C、 $y = s i n π x$ D、 $y = x^{3} + 3 x$

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15. 若函数 $f (x) = \frac{x}{(2 x - 1) (x + a)}$ 为奇函数，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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16. 若 $f (x) = (x + a) l n \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ 为偶函数，则a=（）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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17. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (2 x + 1)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (4) = 0$

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18. 已知函数 $f (x) = e^{- (x - 1)^{2}}$ ．记 $a = f (\frac{\sqrt{2}}{2}) ， b = f (\frac{\sqrt{3}}{2}) ， c = f (\frac{\sqrt{6}}{2})$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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19. 已知函数 $f (x) = 3^{x^{2} - 3 x + 1}$ ，则 $f (x)$ 的增区间为（）

A、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{3}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x}$ ，则该函数在 $(1 ， 3]$ 上的值域是（）

A、 $[4 ， 5)$ B、 $(4 ， 5)$ C、 $[\frac{13}{3} ， 5)$ D、 $[\frac{13}{3} ， 5]$

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21. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{a}{x} - 3 ， x \geq 4 \\ a^{x - 3} ， x < 4 \end{array}$ ，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{4}{3})$ B、 $(1 ， \frac{4}{3}]$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2]$

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22. 已知 $f (x) = l g (e^{| x |} + 1)$ ， $a = 2^{0.3}$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = l o g_{2} \frac{1}{4}$ ，则 $f (a)$ 、 $f (b)$ 、 $f (c)$ 的大小关系为（）

A、 $f (c) > f (a) > f (b)$ B、 $f (b) > f (a) > f (c)$ C、 $f (a) > f (b) > f (c)$ D、 $f (c) > f (b) > f (a)$

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23. 若函数 $f (x) = l g (x^{2} - 4 x - 5)$ 在 $(t ， t + 1)$ 上单调，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1] ∪ [2 ， 4]$ B、 $(- 1 ， 1] ∪ [2 ， 4)$ C、 $(- \infty ， 1] \cup [2 ， + \infty)$ D、 $(- ∞ ， - 2] \cup [5 ， + ∞)$

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四、培优

24. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) + f (x) = 2$ 对任意x恒成立，且 $x \in (0 ， 1)$ 时 $f (x) = 2^{x}$ ，则 $[f (l o g_{3} 405) - 2] \times f (l o g_{3} \frac{81}{5})$ 的值为（）

A、－2 B、－1 C、1 D、2

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25. 记 $a = \sqrt[2023]{2022} ， b = \sqrt[2023]{2023} ， c = \sqrt[2024]{2023}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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26. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数且在 $[0 ， + \infty)$ 上为减函数，若 $a = f (l o g_{\frac{1}{2}} 3)$ ， $b = f (0 . 9^{1.1})$ ， $c = f (0 . 9^{1.2})$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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27. 已知函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - a x + 3 a)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty ， 4]$ B、 $(- 4 ， 4]$ C、 $[- 4 ， 4]$ D、 $(- 4 ， + \infty)$

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28. 已知 $0 < x < y < 1 ， a = x^{3} - y^{3} ， b = 3 (l n x - l n y) ， c = 3 (x - y)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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29. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时不等式 $f (x) + x f^{'} (x) < 0$ 成立，若 $a = 3^{0.3} \cdot f (3^{0.3})$ ， $b = (l o g_{π} 3) \cdot f (l o g_{π} 3)$ ， $c = l o g_{\frac{1}{3}} 9 \cdot f (l o g_{\frac{1}{3}} 9)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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