广东省广州大学附中2023-2024学年强基计划班高三上册数学入学试卷

试卷更新日期：2023-09-28 类型：开学考试

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一、填空题（本大题共20小题，共100.0分）

1. 设 $m$ 为实数，集合 $A = {x | - 3 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | m \leq x \leq 2 m - 1}$ ，满足 $B \subseteq A$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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2. 设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} - 3 ， x \geq 2 \\ a x + 3 ， x < 2 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是．

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3. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 1$ ，若 $f (x + 2)$ 也为奇函数，则 $f (2021) =$ ．

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4. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足对任意的实数 $x$ 都有 $f (x + 6) = f (x)$ ，当 $x \in [- 3 ， - 1)$ 时， $f (x) = - (x + 2)^{2}$ ，当 $x \in [- 1 ， 3)$ 时， $f (x) = x$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2015) =$ ．

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5. 已知常数 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + a x}$ 的图象经过点 $P (p ， \frac{6}{5})$ 、 $Q (q ， - \frac{1}{5})$ ，若 $2^{p + q} = 16 p q$ ，则 $a =$

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6. 设 $a > 0$ ，平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ： $y = a$ 分别与函数 $y = 2^{x}$ 和 $y = 2^{x + 1}$ 的图像交于点 $A$ ， $B$ ，若函数 $y = 2^{x}$ 的图像上存在点 $C$ ，满足 $△ A B C$ 为等边三角形，则 $a =$ ．

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7. 设 $a$ 为实数，直线 $y = 1$ 与函数 $f (x) = x^{2} - | x | + a$ 有四个不同的交点，则 $a$ 的取值范围是．

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8. 设 $\frac{c o s x}{s i n x - 1} = - \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{1 + s i n x}{c o s x} =$ ．

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9. 设 $α$ 为实数，满足 $3 s i n α + c o s α = 0$ ，则 $\frac{1}{c o s^{2} α + s i n 2 α} =$ ．

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10. 函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x - \sqrt{3} s i n 2 x$ 的最大值为．

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11. 设 $t$ 为实数，满足 $t$ ， $t + 1$ ， $t + 2$ 构成一个钝角 $△ A B C$ 的三边长，则 $t$ 的取值范围为．

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12. 在 $△ A B C$ 中， $c o s^{2} \frac{B}{2} = \frac{a + c}{2 c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为三角形．

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13. 设 $λ$ 为实数，设向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (4 ， 2)$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ ，若 $\vec{a}$ 和 $\vec{c}$ 夹角等于 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 夹角，则 $λ =$ ．

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14. 设数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 都为等差数列，记它们的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，满足 $\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{2 n - 1}{2 n + 1}$ ，则 $\frac{S_{n}}{T_{n}} =$ ．

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15. 已知 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上的点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，若 $\frac{\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}}{| \vec{P F_{1}} | \cdot | \vec{P F_{2}} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为．

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16. 如图，在正六边形 $A B C D E F$ 中，则以 $F$ ， $C$ 为焦点，且经过点 $A$ ， $E$ ， $D$ ， $B$ 的双曲线的离心率 $e =$ ．

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17. 设点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 作直线交双曲线 $C$ 的两条渐近线于点 $A$ ， $B$ ，满足 $\vec{F_{1} A} = \vec{A B}$ ， $\vec{F_{1} B} \cdot \vec{F_{2} B} = 0$ ，则双曲线的离心率 $e =$ ．

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18. 已知 $P$ 为抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} 上的动点$ ，点 $P$ 在 $x$ 轴上的射影为 $M$ ，点 $A$ 的坐标是 $(2 ， 0)$ ，则 $| P A | + | P M |$ 的最小值是．

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19. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上满足 $f (x) = 2 f (2 - x) - x^{2} + 8 x - 8$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = 1$ 处取得极值 $10$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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