北京市朝阳区名校2023-2024学年高二上册数学开学检测试卷

试卷更新日期：2023-09-28 类型：开学考试

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一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 设集合 $A = {z | z 为虚数}$ ， $B = {z | z 为纯虚数}$ ， $C = {z | z 为复数}$ ，则A ， B ， C间的关系为（）

A、 $A ⊊ B ⊊ C$ B、 $B ⊊ A ⊊ C$ C、 $B ⊊ C ⊊ A$ D、 $A ⊊ C ⊊ B$

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2. 已知 $A (0 ， 1)$ ， $B (3 ， - 2)$ ，且 $\vec{A C} = 2 \vec{C B}$ ，则 $\vec{A C}$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， - 1)$ B、 $(6 ， - 5)$ C、 $(6 ， - 6)$ D、 $(2 ， - 2)$

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3. 某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第70百分位数是（）

A、86 B、85.5 C、85 D、84.5

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4. 向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若向量 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，则 $λ + μ$ 的值等于（）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、 $- 3$

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5. 将函数 $y = s i n x + c o s x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，所得图象的函数解析式为（）

A、 $- s i n x + c o s x$ B、 $- c o s x + s i n x$ C、 $- s i n x - c o s x$ D、 $s i n x + c o s x$

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6. 已知四面体ABCD中， $\vec{D A} = \vec{a}$ ， $\vec{D B} = \vec{b}$ ， $\vec{D C} = \vec{c}$ ，点M在棱DA上， $\vec{D M} = 3 \vec{M A}$ ， N为BC中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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7. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点E，F分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， BC的中点，则下列结论中不正确的是（）

A、 $C C_{1} ∥$ 平面 $A_{1} A B B_{1}$ B、 $A F ∥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ C、 $E F ∥$ 平面 $A_{1} A B B_{1}$ D、 $A E ∥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$

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8. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得 $\vec{D E} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ”是“ $D E ∥$ 平面ABC”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律．有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度为20℃，但当气温上升到31℃时，时钟花基本都会凋谢．在花期内，时钟花每天开闭一次．已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时~14时的气温T（单位：℃）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式 $T = 25 + 10 s i n (\frac{π}{8} t + \frac{3 π}{4})$ ，则在6时14时中，观的最时约为（）（参考数据： $s i n \frac{π}{5} \approx 0.6$ ）

A、6.7时~11.6时 B、6.7时~12.2时 C、8.7时~11.6时 D、8.7时~12.2时

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n π x}{x^{2} - x}$ ，给出下列四个结论：
① $f (x)$ 存在无数个零点； ② $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上有最大值；

③若 $f (2023.7) = a$ ，则 $f (- 2022.7) = a$ ； ④区间 $(\frac{1}{2} ， 1)$ 是 $f (x)$ 的单调递减区间．

其中所有正确结论的序号为（）

A、①②③ B、②③④ C、①③ D、①②③④

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二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11. 若复数z满足 $i \cdot z = 3 - 4 i$ ，则 $| z | =$ ．

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12. 某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了人．

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13. 已知一个长方体的 $8$ 个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为 $2$ ， $3$ ， $\sqrt{3}$ ，则长方体的体对角线的长等于；球的表面积等于.

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14. 在 $△ A B C$ 中， $c = 8$ ， $∠ B = 30 °$ ，请给出一个b的值，使得满足条件的三角形恰有两个，则b的一个值是．

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15. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M ， N分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：
①平面CMN截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面图形是五边形；

②直线 $B_{1} D_{1}$ 到平面CMN的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

③存在点P ，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90 °$ ；

④ $△ P D D_{1}$ 面积的最小值是 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ．

其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题（共6小题，共85分）

16. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) + c o s 2 x (| φ | < \frac{π}{2})$ ， $- \frac{π}{12}$ 是 $f (x)$ 的一个零点．

(1)、求 $φ$ 的值；

(2)、请把 $f (x)$ 的解析式化简成 $A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的形式；

(3)、当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 时，若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = m$ 有2个公共点，求m的取值范围．

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17. 某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分：

9.6

10.1

9.7

9.8

10.0

9.7

10.0

9.8

10.1

10.2

经计算得 $\frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} \approx 98.048$ ，其中 $x_{i}$ 为抽取的第i件产品的评分， $i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 10$ ．

(1)、求这组样本平均数和方差；

(2)、若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差；

(3)、在第（2）问前提下，再从改进后生产的产品中随机抽取的10件产品，估计这10件产品平均等级是否为一等品？说明理由．

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18. 向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为 $θ$ ， $| \vec{O A} | = 2$ ， $| \vec{O B} | = 1$ ， $\vec{O P} = t \vec{O A}$ ， $\vec{O Q} = (1 - t) \vec{O B}$ ．

(1)、请用 $θ$ ， t的关系式表示 $| \vec{P Q} |$ ；

(2)、 $| \vec{P Q} |$ 在 $t_{0}$ 时取得最小值．当 $0 < t_{0} < \frac{1}{5}$ 时，求夹角 $θ$ 的取值范围．

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19. 如图，四边形ABCD是矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD ， $D E ⊥$ 平面ABCD ， $A B = D E = 1$ ， $A D = P A = 2$ ，点F在棱PA上．

(1)、求证： $B F ∥$ 平面CDE；

(2)、求二面角 $C - P E - A$ 的余弦值；

(3)、若点F到平面PCE的距离为 $\frac{1}{3}$ ，求线段AF的长．

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20. 在 $△ A B C$ 中， $2 c o s^{2} \frac{B}{2} - 2 s i n \frac{B}{2} c o s \frac{B}{2} = 1$ ．

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $c o s A = - \frac{1}{2}$ ；条件②： $b = \sqrt{2}$ ；条件③：AB边上的高为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分．

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21. 设 $m ， n \in N^{*}$ ，已知由自然数组成的集合 $S = {a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}} (a_{1} < a_{2} < \cdot \cdot \cdot < a_{n})$ ，集合 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{m}$ 是S的互不相同的非空子集，定义 $n \times m$ 数表：
$χ = (\begin{array}{l} x_{11} & x_{12} & \cdot \cdot \cdot & x_{1 m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdot \cdot \cdot & x_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \cdot \cdot \cdot & x_{n m} \end{array})$ ，其中 $x_{i j} = {\begin{cases} 1 ， a_{i} \in S_{j} \\ 0 ， a_{i} \notin S_{j} \end{cases}$ ，

设 $d (a_{i}) = x_{i 1} + x_{i 2} + \cdot \cdot \cdot + x_{i m} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ，令 $d (S)$ 是 $d (a_{1})$ ， $d (a_{2})$ ， …， $d (a_{n})$ 中的最大值．

(1)、若 $m = 3$ ， $S = {1 ， 2 ， 3}$ ，且 $χ = (\begin{array}{l} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})$ ，求 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 及 $d (S)$ ；

(2)、若 $S = {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n}$ ，集合 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{m}$ 中的元素个数均相同，若 $d (S) = 3$ ，求n的最小值；

(3)、若 $m = 7$ ， $S = {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 7}$ ，集合 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{7}$ 中的元素个数均为3，且 $S_{i} ∩ S_{j} \neq \emptyset (1 \leq i < j \leq 7)$ ，求证： $d (S)$ 的最小值为3．

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