上海市上交附高2023-2024学年高三上册数学9月摸底试卷

试卷更新日期：2023-09-28 类型：月考试卷

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一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简、完整的结果）

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | x = 2 t + 1 ， t \in A}$ ，则 $A ∩ B =$ .

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2. 不等式 $| x + 1 | + | x - 3 | ≤ 6$ 的解集是.

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3. 已知点 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (1 ， - 1)$ ，则 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 方向上的数量投影为.

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4. 已知 $z = 3 + 4 i$ ，若实数a、b满足 $b z + a \bar{z} + | z | = 0$ ，则 $a + b =$ .

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5. 如图， $Δ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $B C = 6$ ，在三角形挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C ， M ，与BC交于点N）.则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为.

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6. 设x、y均为正数，且 $x y = 1$ ，则 $5^{x} \cdot 5^{y}$ 的最小值为.

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7. 一个小球作简谐振动，其运动方程为 $s = 2 s i n (\frac{π}{6} t + \frac{π}{3})$ ，其中s（单位：厘米）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：秒）为运动时间，则小球在 $t = 1$ 时的瞬时速度为cm/s.

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8. 将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，若A、B、C均互不相邻，则不同的排法有种.（用数字作答）

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9. 已知某种生物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是.

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10. 已知m、n均为实数，方程 $\frac{x^{2}}{m^{2} + n} + \frac{y^{2}}{3 m^{2} - n} = 1$ 表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是.

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11. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{c} - 2 \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $| \vec{c} - λ \vec{b} | (λ \in R)$ 的最小值为.

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12. 函数 $y = f (x)$ 是最小正周期为4的偶函数，且在 $x \in [- 2 ， 0]$ 时， $f (x) = 2 x + 1$ ，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 满足，且 $0 ≤ x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n}$ ，则 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | + | f (x_{2}) - f (x_{3}) | + ⋯ + | f (x_{n - 1}) - f (x_{n}) | = 2023$ ，则 $n + x_{n}$ 的最小值为.

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二、选择题.（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）

13. 函数 $y = l n (x^{2} - 2 x - 8)$ 的严格减区间（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(4 ， + \infty)$

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14. 如图，一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{9}$ ， $x_{10}$ 的平均数为5，方差为 $s_{1}^{2}$ ，去除 $x_{9}$ ， $x_{10}$ 这两个数据后，平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s_{2}^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} > 5$ ， $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ B、 $\bar{x} < 5$ ， $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ C、 $\bar{x} = 5$ ， $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ D、 $\bar{x} = 5$ ， $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$

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15. 甲乙两人下棋，和棋的概率是 $\frac{1}{2}$ ，甲获胜的概率是 $\frac{1}{3}$ ，则甲不输的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16. 如果方程 $\frac{x^{2}}{4} + y | y | = 1$ 所对应的曲线与函数 $y = f (x)$ 对的图像完全重合，那么对于函数 $y = f (x)$ 有如下结论：
①函数 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， 2]$ ；
②函数 $F (x) = f (x) + x$ 有且只有一个零点.
对这两个结论，以下判断正确的是（）

A、①正确，②错误 B、①错误，②正确 C、①②正确 D、①②错误

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三、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤）

17. 已知 ${(\frac{1}{4} + x)}^{6} = \sum_{i = 0}^{6} a_{i} x^{i}$ .

(1)、无穷等比数列 ${b_{n}}$ 的首项 $b_{1} = a_{3}$ ，公比 $q = a_{4}$ .求 $\sum_{i = 1}^{+ \infty} b_{i}$ 的值.

(2)、无穷等差数列 ${c_{n}}$ 的首项 $c_{1} = a_{5}$ ，公差 $d = a_{6}$ .求 ${c_{n}}$ 的通项公式和它的前10项和 $C_{10}$ .

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18. 已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c ，且 $a = 5$ ， $b = 7$ .

(1)、若 $B = \frac{π}{3}$ ，求c；

(2)、设点M是边AB的中点，若 $C M = 3$ ，求三角形ABC的面积.

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19. 如图，三棱锥S-ABC的底面ABC和侧面SAB都是边长为2的等边三角形，D ， E分别是AB ， AC的中点， $S D ⊥ C D$ .

(1)、证明： $B C ∥$ 平面SDE；

(2)、求三棱锥S-ABC的体积.

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20. 如图，椭圆 $Γ_{1}$ 、双曲线 $Γ_{2}$ 中都是坐标原点O ，焦点都在x轴上，且具有相同的顶点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ， $Γ_{1}$ 的焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $Γ_{2}$ 的焦点为 $E_{1}$ 、 $E_{2}$ ，点 $A_{1}$ 、 $F_{1}$ 、O、 $F_{2}$ 、 $A_{2}$ 恰为线段 $E_{1} E_{2}$ 的六等分点，我们把 $Γ_{1}$ 与 $Γ_{2}$ 合成为曲线 $Γ$ ，已知 $Γ_{1}$ 的长轴长为4.

(1)、求曲线 $Γ_{1}$ 与 $Γ_{2}$ 的方程；

(2)、若M是 $Γ$ 上的一动点， $T (0 ， 4)$ 为定点，求 $| M T |$ 的最小值；

(3)、若直线l过点O ，与 $Γ_{1}$ 交于 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 两点，与 $Γ_{2}$ 交于 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 两点，点 $P_{1}$ 、 $Q_{1}$ 位于同一象限，且直线 $P_{1} F_{1} ∥ Q_{1} E_{1}$ ，求直线l的斜率.

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21. 记 $f' (x)$ ， $g' (x)$ 分别为函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的导函数.若存在实数 $x_{0}$ ，满足 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ 且 $f' (x_{0}) = g' (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的一个“S点”.

(1)、证明：函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = x^{2} + 2 x - 2$ 不存在“S点”；

(2)、若存在实数b ，使得函数 $f (x) = a x^{2} + b$ 与 $g (x) = l n x$ 存在“S点”，求实数a的取值范围；

(3)、已知函数 $f (x) = - x^{2} + a$ ， $g (x) = \frac{b e^{x}}{x}$ .对任意常数 $a > 0$ ，判断是否存在常数 $b > 0$ ，使函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内存在“S点”，并说明理由.

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