湖北省武汉市东湖高新区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-09-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 化简 $\sqrt{16}$ 的结果是（）

A、4 B、 $- 4$ C、 $\pm 4$ D、 $\pm 8$

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2. 在平面直面坐标系中有两点 $A (3 ， 0)$ 和 $B (0 ， 4)$ ，则这两点之间的距离是（）

A、3 B、4 C、5 D、7

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3. 下列式子中，表示 $y$ 是 $x$ 的正比例函数的是（）

A、 $y = \frac{2}{x}$ B、 $y = \frac{x}{2}$ C、 $y = 2 x^{2}$ D、 $y^{2} = 4 x$

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4. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：

成绩m

1.50

1.60

1.65

1.70

1.75

1.80

人数

2

3

2

3

4

1

则这些运动员成绩的众数是（）

A、1.65 B、1.75 C、1.70 D、1.60

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5. 矩形不一定具有的性质是（）

A、对角线互相平分 B、对角线互相垂直 C、对角线相等 D、对角相等

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6. 如图，点D，E分别是 $△ A B C$ 的边 $A B ， A C$ 上的中点， $∠ A B C$ 的角平分线交 $D E$ 于点F， $A B = 10 ， B C = 12$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、1 B、1.5 C、2 D、2.5

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7. 如图，点E是矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上的中点，将 $△ A B E$ 折叠得到 $△ A F E$ ，点F在矩形内部， $A F$ 的延长线交 $C D$ 于点G，若 $A D = 12$ ， $C G = 4$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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8. 某电信公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元；B种方式是月租0元．一个月本地网内打出电话费S（元）与打出时间t（分）的函数图象如图所示，当打出150分钟时，这两种方式的电话费相差（）

A、5元 B、10元 C、15元 D、20元

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9. 大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形 $A B C D$ ，中空的部分是小正方形 $E F G H$ ，连接 $E G ， B D$ 相交于点O， $B D$ 与 $H C$ 相交于点P，若 $G O = G P$ ，则直角三角形的边 $C G$ 与 $B G$ 之比是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

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10. 如图，直线l： $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3}$ 与x轴交于点E，四边形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} A_{2} B_{2} C_{2}$ ， $A_{2} A_{3} B_{3} C_{3}$ ， ……，都是含 $60 °$ 内角的菱形，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， ……，都在x轴上，点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， ……，都在直线l上，且 $O A_{1} = O E$ ，则点 $C_{6}$ 的横坐标是（）

A、47 B、49 C、95 D、97

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{2} \times \sqrt{5} =$ ， $\sqrt{18} \div \sqrt{2} =$ ， $\sqrt{{(- 3)}^{2}} =$ ．

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12. 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐三项成绩（百分制）依次分别是90分，95分，90分．小桐这学期的体育成绩是．

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13. 若点A $(1 ， y_{1})$ ， B $(2 ， y_{2})$ 在一次函数 $y = - 3 x + m$ （m是常数）的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系是 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“＞”，“＝”或“＜”）．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D， $∠ A C D$ $= 3 ∠ B C D$ ， E是斜边 $A B$ 的中点，若 $C D = 1$ ，则 $B D =$ ．

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15. 一次函数 $y_{1} = k x + b (b > 5)$ 与 $y_{2} = m x - m$ 交于点A $(3 ， 2)$ ，有下列结论：
①关于x的方程 $k x + b = m x - m$ 的解为 $x = 3$ ；
②关于x的不等式组 $k x + b > m x - m \geq 0$ 的解集为 $1 \leq x < 3$ ；
③ $k < - 1$ ；
④若 $| y_{1} - y_{2} | = b + 1$ ，则 $x = 0$ 或 $- 6$
其中正确的结论是．（填写序号）

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16. 如图，将边长为 $4$ 的正方形 $A B C D$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，得到正方形 $A B^{^{'}} C^{^{'}} D^{^{'}}$ ，连接 $B B^{'}$ ， $B C^{'}$ ，在旋转角从 $0 °$ 到 $180 °$ 的整个旋转过程中，当 $B B^{'} = B C^{'}$ 时， $△ B B^{'} C^{'}$ 的面积为．

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三、解答题

17. 直线 $y = k x - 1$ 经过点 $(3 ， 5)$ ．

(1)、求这条直线的解析式；

(2)、求关于x的不等式 $k x - 1 \leq 0$ 的解集．

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $C D = 12$ ， $A D = 13$ ．

(1)、求证： $△ A C D$ 是直角三角形；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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19. 数学运算是数学六大核心素养之一．某校八年级为了评估学生的数学运算能力，随机抽取a名学生进行数学计算测试（满分100分），整理所得数据绘制成如下不完整的统计图表．

成绩频数分布表

成绩等级	D等级	C等级	B等级	A等级
分数x/分	$60 < x \leq 70$	$70 < x \leq 80$	$80 < x \leq 90$	$90 < x \leq 100$
学生人数	9	b	12	c

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、直接写出a，b的值；

(2)、本次测试成绩的中位数所在的等级是；成绩达到A等级的人数占测试人数的百分比是；

(3)、学校拟将成绩超过80分的学生评为“计算小能手”，若该年级学生以1000人计算，估计可评为“计算小能手”的学生人数．

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，且 $∠ 1 = ∠ 2$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、若 $∠ A O B = 60 °$ ，且 $A B = 4$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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21. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点E在 $B C$ 边上，仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．

(1)、如图1，在 $A D$ 上画点F，使四边形 $A E C F$ 是平行四边形；

(2)、如图2，在 $C D$ 上画点K，使 $C K = C E$ ；

(3)、如图3，若点G在 $B D$ 上，在 $B D$ 上画点H，使四边形 $A G C H$ 是菱形．

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22. 某大型超市从水果批发市场购进哈密瓜和苹果进行销售，两种水果的进价和售价如下表所示：

水果名称	进价（元/千克）	售价（元/千克）
哈密瓜	a	10
苹果	b	销量不超过100千克的部分	销量超过100千克的部分
		16	14

已知超市购进20千克哈密瓜和10千克苹果需要260元，购进10千克哈密瓜和20千克苹果需要310元．

(1)、求a，b的值；

(2)、若超市每天购进两种水果共150千克，并在当天都销售完，其中销售哈密瓜不少于40千克且不超过60千克，设每天销售哈密瓜x千克（损耗忽略不计），

①分别求出每天销售哈密瓜的利润y₁（单位：元），销售苹果的利润y₂（单位：元）与x（单位：千克）的函数关系式，并写出x的取值范围；

②“端午节”当天超市让利销售，将哈密瓜的售价每千克降低m元，苹果售价全部定为14元，为了保证当天销售这两种水果总利润w（元）的最小值不少于320元，求m的最大值．

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23. 如图

(1)、【探索发现】如图1，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点O，点O又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 绕点O怎么转动，总有 $Δ A E O ≅ Δ B F O$ ，连接 $E F$ ，求证： $A E^{2} + C F^{2} = E F^{2}$ ．

(2)、【类比迁移】如图2，矩形 $A B C D$ 的中心O是矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点， $A_{1} O$ 与边 $A B$ 相交于点E， $C_{1} O$ 与边 $C B$ 相交于点F，连接 $E F$ ，矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

(3)、【迁移拓展】如图3，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3 c m$ ， $B C = 4 c m$ ，直角 $∠ E D F$ 的顶点D在边 $A B$ 的中点处，它的两条边 $D E$ 和 $D F$ 分别与直线 $A C ， B C$ 相交于点E，F， $∠ E D F$ 可绕着点D旋转，当 $B F = 1 c m$ 时，直接写出线段 $E F$ 的长度．

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24. 如图，直线 $y = k x - 4 k (k \neq 0)$ 与坐标轴分别交于点A，B， $S_{△ A O B} = 8$ ，以 $O A$ 为边在y轴的右侧作正方形 $A O B C$ ．

(1)、求点A，B的坐标；

(2)、如图，点D是x轴上一动点，点E在 $A D$ 的右侧， $∠ A D E = 9 0^{∘}$ ， $A D = D E$ ．
①如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由；

②如图2，点D是线段 $O B$ 的中点，另一动点H在直线 $B E$ 上，且 $∠ H A C = ∠ B A D$ ，请直接写出点H的坐标．

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成绩m	1.50	1.60	1.65	1.70	1.75	1.80
人数	2	3	2	3	4	1