浙江省杭州市上城区2022-2023学年七年级下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-09-28 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若分式 $\frac{x}{2 - x}$ 有意义，则应满足的条件是（）

A、 $x = 0$ B、 $x \neq 1$ C、 $x \neq 0$ D、 $x \neq 2$

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2. 下列四个图形中， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互为内错角的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列方程是二元一次方程的是（）

A、 $x + \frac{2}{y} = 1$ B、 $2 x + y = 1$ C、 $x y - y = 1$ D、 $2 x^{2} = y - 1$

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4. 下列各式计算正确的是（）

A、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 $a^{0} = 0$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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5. 下列因式分解正确的是（）

A、 $x^{3} - x = x (x^{2} - 1)$ B、 $x^{2} + x y - 3 = x (x + y) - 3$ C、 $x^{2} - 4 y^{2} = (x - 2 y) (x + 2 y)$ D、 $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2} = (x + 3 y)^{2}$

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6. 第 $19$ 届亚运会将于 $2023$ 年 $9$ 月 $23$ 日至 $10$ 月 $8$ 日在杭州举行 $.$ 本届亚运会共设有 $42$ 个竞赛大项，这 $42$ 个竞赛大项包括 $31$ 个奥运项目和 $11$ 个非奥运项目，其中这 $11$ 个非奥运项目具有浓郁的亚洲特色和中国特色 $.$ 为了调查全校学生最喜爱的亚运竞赛项目情况，下列做法中，比较合理的是（）

A、抽取八年级的女生，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目 B、抽取七年级的男生，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目 C、抽取九年级 $5$ 个班的学生，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目 D、三个年级每班随机抽取男生和女生各 $5$ 个，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目

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7. 如图，已知 $l_{1} // l_{2}$ ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ 2 = 100 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、50° B、55° C、45° D、60°

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8. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + 1}{x - 4} = 2 - \frac{m}{4 - x}$ 有增根，则常数 $m$ 的值是（）

A、 $3$ B、 $5$ C、 $- 3$ D、 $- 5$

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9. 如图，面积为 $21 c m^{2}$ 的 $△ A B C$ 以每秒 $2 c m$ 的速度沿射线 $B C$ 方向平移，平移 $2$ 秒后所得图形是 $△ D E F ($ 点 $E$ 在线段 $B C$ 上 $)$ ，若 $B F = 11 c m$ ，则图中的四边形 $A B F D$ 的面积为（）

A、 $24 c m^{2}$ B、 $35 c m^{2}$ C、 $45 c m^{2}$ D、 $48 c m^{2}$

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10. 算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具 $. 《$ 九章算术 $》$ 的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法 $.$ 各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 $x$ ， $y$ 的系数与相应的常数项 $.$ 把图 $1$ 所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 ${\begin{array}{l} 3 x + 7 y = 21 \\ x + 4 y = 16 \end{array}$ ，根据图 $2$ 列出的方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 7 x + 5 y = 8 \\ 2 x + 6 y = 18 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 7 x + 5 y = 13 \\ 2 x + 5 y = 18 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 x + 5 y = 13 \\ 2 x + 11 y = 8 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 x + 5 y = 13 \\ x + 2 y = 8 \end{array}$

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 已知 $\frac{x}{y} = 2$ ，则分式 $\frac{x}{2 x - y}$ 的值是．

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12. 方程 $2 x - 3 y = 7$ 用含 $x$ 的代数式表示 $y$ ．．

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13. 已知 ${\begin{array}{l} x = a \\ y = b \end{array}$ 是方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 3 \\ 2 x + y = 2 \end{array}$ 的解，则 $a - b$ 的值为．

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14. 一艘船从 $O$ 处出发，沿南偏东 $55 °$ 方向行驶至 $A$ ，然后向正东方向行驶至 $C$ 后又改变航向，朝与出发时相反的方向行驶至 $B$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为．

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15. 如果 $x^{2} - 2 k x + 16$ 是一个完全平方式，则 $k =$ ．

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16. 生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等 $.$ 为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式 $x^{3} - 9 x$ 分解结果为 $x (x + 3) (x - 3) .$ 当 $x = 20$ 时， $x + 3 = 23$ ， $x - 3 = 17$ ，此时可得到数字密码 $202317 .$ 将多项式 $x^{3} + m x^{2} + n x$ 因式分解后，利用题目中所示的方法，当 $x = 12$ 时可以得到密码 $121415$ ，则 $m n =$ ．

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三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 按要求计算：

(1)、 $(- \frac{1}{2})^{0} \times 3^{- 2}$ ；

(2)、 $(6 x^{3} y^{2}) \div (4 x y^{2})$ ；

(3)、分解因式： $a^{3} - 4 a$ ．

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18. 解下列方程 $($ 组 $)$ ：

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 x - 5 y = 12 \\ 4 x + 3 y = - 2 \end{array}$ ；

(2)、 $\frac{2 x}{x - 2} - 1 = \frac{1}{2 - x}$ ．

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19. 为了响应教育部关于

《

中小学学生近视眼防控工作方案

》

的文件，某校为了解学生视力状况，从全校

1800

名学生中，随机抽取了其中

300

名学生进行视力检查，并根据调查结果，将学生分为

A

、

B

、

C

、

D

、

E

五个等级，其中

A

表示超级近视、

B

表示严重近视、

C

表示中等近视、

D

表示轻微近视、

E

表示视力良好，并绘制两幅不完整的统计图表

.

某校抽取学生视力检查结果的频数表：

等级	视力	人数
$A$	$3.95 - 4.25$	$15$
$B$	$4.25 - 4.55$	$45$
$C$	$4.55 - 4.85$	$a$
$D$	$4.85 - 5.15$	$b$
$E$	$5.15 - 5.45$	$60$

请结合题中信息，解答下列问题：

(1)、下列判断不正确的是____；

A、

1800

名学生的视力是总体； B、样本容量是

1800

； C、

300

名学生的视力是样本； D、每名学生的视力是个体．

(2)、表中

a =

，

b =

；

(3)、学校准备采取措施治疗和干预近视程度为“中等”和“严重”的学生，请你估计大约一共有多少人．

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20.

(1)、先化简，再求值： $9 (x - 1)^{2} - (3 x + 2) (3 x - 2)$ ，其中 $x = - \frac{1}{3}$ ；

(2)、先化简，再求值： $\frac{x + 15}{x^{2} - 9} - \frac{3}{x - 3}$ ，并从 $- 3$ ， $0$ ， $1$ ， $3$ 中选取一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

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21. 如图，已知 $A B / / C D$ ， $A D$ 平分 $∠ E A C$ ， $∠ B = ∠ D$ ．

(1)、求证： $A D / / B C$ ；

(2)、若 $∠ D A C = (2 x + 15) °$ ， $∠ B = (105 - 3 x) °$ ，求 $∠ D$ 的度数．

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22. 杭州亚运会篮球比赛，目前推出两种观赛门票，价格为： $A$ 类票 $120$ 元 $/$ 张， $B$ 类票 $80$ 元 $/$ 张 $.$ 杭州某企业计划投入 $1.8$ 万元，全部用于购买篮球比赛门票 $($ 两类门票都有 $)$ ，用作职工福利．

(1)、若购买门票总数为 $160$ 张，求购买的 $A$ 类票和 $B$ 类票分别的张数；

(2)、若购买门票总数 $m$ 张，其中 $B$ 类票 $n$ 张．
①求 $m$ 与 $n$ 满足怎样的数量关系；
②若购买的门票中 $A$ 类票比 $B$ 类票的 $3$ 倍还多 $8$ 张，求 $A$ 类门票的张数．

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23. 综合实践．
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系

活动资源：提供长度不同的两种木棒各 $4$ 根 $($ 如图 $)$

入项任务：运用以上 $8$ 根木棒 $($ 不折断 $)$ 摆成长方形或正方形，且木棒全部用完 $.$ 选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法 $($ 如图 $)$ 进行研究．

问题探究过程

(1)、发现问题：
请观察以上所有图形，并研究不同2种或2种以上 $)$ 摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是； $($ 请用简洁的语言描述 $)$

(2)、提出问题：
请用代数式表示你的发现 $($ 设两种木棒的长度分别为 $a$ ， $b ($ 其中 $a > b)$ ，四种图形面积分别为 $S_{甲}$ ， $S_{乙}$ ， $S_{丙}$ ， $S_{丁}$ ．
例如：小明的结论是 $S_{甲} = 2 S_{乙} = 4 a b$ ．
小张的结论是 $S_{丁} > S_{乙}$ ，
你的结论是：；

(3)、分析问题：
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
证： $∵ S_{甲} = 2 a \times 2 b = 4 a b$ ， $S_{乙} = a b + a b = 2 a b$ ，
$∴ S_{甲} = 2 S_{乙}$ ，
你的证明：；

(4)、拓展创新：
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为 $(a - b)$ 的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
你的示意图：；
你的关系式：．

(5)、迁移应用：
根据以上的研究结论，请解决数学问题，若 $x + y = \sqrt{31}$ ， $x y = 7$ ，求 $x - y$ 的值．

你的解答：．

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