北京市房山区2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-27 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 2022年我国的进出口总额超过了6万亿美元，实际使用外资 $1891.3$ 亿美元，规模再创历史新高．将189130000000用科学记数法表示应为（）

A、 $1.8913 \times 10^{7}$ B、 $18913 \times 10^{7}$ C、 $0.18913 \times 10^{12}$ D、 $1.8913 \times 10^{11}$

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3. 如图，用量角器测量 $∠ A O B$ ，可读出 $∠ A O B$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $110 °$ C、 $115 °$ D、 $120 °$

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4. 实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，表示实数 $c$ 的点在原点右侧，且 $| c | < | a |$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $a + b < 0$ B、 $a + c < 0$ C、 $a - c > 0$ D、 $\frac{a}{b} > 0$

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5. 下列图形中，点 $O$ 是该图形的对称中心的是（）

A、 B、
C、 D、

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6. 不透明的盒子中有三张卡片，上面分别写有数字“ $1$ ， $2$ ， $3$ ”，除数字外三张卡片无其他差别 $.$ 从中随机取出一张卡片，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机取出一张卡片，记录其数字，两次取出卡片上的数字的乘积是偶数的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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7. 已知 $2 6^{2} = 676$ ， $2 7^{2} = 729$ ， $2 8^{2} = 784$ ， $2 9^{2} = 841 .$ 若 $n$ 为整数，且 $n - 1 < \sqrt{795} < n$ ，则 $n$ 的值是（）

A、 $26$ B、 $27$ C、 $28$ D、 $29$

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8. 如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ 的中点，点 $F$ 为线段 $A C$ 上的一个动点，连接 $F D$ ， $F B$ ， $F E .$ 设 $A F = x$ ，图 $1$ 中某条线段长为 $y$ ，若表示 $y$ 与 $x$ 的函数关系的图象大致如图 $2$ 所示，则这条线段可能是（）

A、 $F D$ B、 $F B$ C、 $F E$ D、 $F C$

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二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 若代数式 $\frac{3}{x - 7}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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10. 分解因式： $a m^{2} - 4 a =$ ．

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11. 方程 $\frac{5}{x} = \frac{7}{x + 2}$ 的解为．

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (3 ， - 2)$ 和点 $B (2 ， m)$ ，则 $m$ 的值为．

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13. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 6 x + m = 0$ 有两个实数根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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14. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上，若 $∠ C A B = 60 °$ ， $C B = 6$ ，则 $⊙ O$ 的半径为．

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15. 某公司销售部在出售一批柑橘前需要先进行“柑橘损坏率”统计，去掉损坏的柑橘后，再确定柑橘的售价

.

表是销售部随机取样得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分：

柑橘总质量 $n / k g$	$250$	$300$	$350$	$400$	$450$	$500$	$550$	$600$
损坏的柑橘质量 $m / k g$	$24.75$	$30.93$	$35.12$	$39.97$	$44.54$	$51.07$	$55.13$	$61.98$
柑橘损坏的频率 $\frac{m}{n}$	$0.099$	$0.103$	$0.100$	$0.099$	$0.099$	$0.102$	$0.100$	$0.103$

估计这批柑橘完好的概率为 $($ 结果精确到 $0.1)$ ．

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16. 甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛训练，两人先比，若分出胜负，则由第三个人与胜者比赛；若是和棋，则这两个人继续下一局比赛，直到分出胜负 $.$ 如此进行 $\dots \dots$ 比赛若干局后，甲胜 $4$ 局，负 $2$ 局；乙胜 $3$ 局，负 $3$ 局；若丙负 $3$ 局，那么丙胜了局，三位同学至少进行了局比赛．

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三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算： $(\frac{1}{3})^{- 1} + \sqrt{18} + | - \sqrt{2} | - 4 c o s 45 °$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 1 < 5 - x \\ \frac{3 + 5 x}{3} > 2 x \end{array}$

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19. 已知 $x^{2} - x - 1 = 0$ ，求代数式 $(x + 3) (x - 3) + x (x - 2)$ 的值．

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20. 下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．

平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．

已知：如图， $▱ A B C D$ ．

求证： $∠ B A D = ∠ B C D$ ， $∠ A B C = ∠ A D C$ ．

方法一：

证明：如图，连接AC ．

方法二：

证明：如图，延长BC至点E ．

方法三：

证明：如图，连接AC、BD，AC与BD交于点O ．

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21. 如图，点 $O$ 为▱ $A B C D$ 的对角线 $A C$ 的中点，直线 $l$ 绕点 $O$ 旋转，当 $l ⊥ A C$ 时，与边 $A B$ ， $C D$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ，连接 $A F$ ， $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(2)、若 $∠ B A C = 15 °$ ， $B E = 1$ ， $E C = 2$ ，求▱ $A B C D$ 的面积．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (2 ， - 1)$ ，且与函数 $y = x$ 的图象交于点 $B (1 ， a)$ ．

(1)、求 $a$ 的值及函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的表达式；

(2)、当 $x \leq 0$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = x + m$ 的值小于函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

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23. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 三点在 $⊙ O$ 上，直径 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A B$ 交弦 $B C$ 于点 $E$ ，在 $B C$ 的延长线上取一点 $F$ ，使得 $∠ B F D = ∠ A D B$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 4$ ， $D E = 5$ ，求 $D F$ 的长．

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24. 青少年的健康素质是全民族健康素质的基础

.

某校为了解学生寒假参加体育锻炼的
情况，从七、八、九年级学生中各随机抽取了该年级学生人数的

5 %

，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息．

a .

七，八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下：

$b .$ 九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长：
$7$ ， $8$ ， $8$ ， $11$ ， $9$ ， $7$ ， $6$ ， $8$ ；
$c .$ 七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数：

年级	平均数	中位数	众数
七年级	$7.1$	$7$	$6$ ， $10$
八年级	$7$	$m$	$n$
九年级	$p$	$8$	$8$

根据所给信息，回答下列问题：

(1)、表中

m

的值是，

n

的值是，

p

的值是；

(2)、设七、八、九三个年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是

S_{1}^{2}

，

S_{2}^{2}

，

S_{3}^{2}

，直接写出

S_{1}^{2}

，

S_{2}^{2}

，

S_{3}^{2}

之间的大小关系

(

用“

<

”连接

)

；

(3)、估计全校九年级所有学生中，共有名学生参加体育锻炼的时长不少于

9

小时．

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25. 排球场的长度为

18 m

，球网在场地中央且高度为

2.24 m .

排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度

y (

单位：

m)

与水平距离

x (

单位：

m)

近似满足函数关系

y = a (x - h) ² + k (a < 0)

．

(1)、某运动员第一次发球时，测得水平距离

x

与竖直高度

y

的几组数据如下：

水平距离 $x / m$	$0$	$2$	$4$	$6$	$11$	$12$
竖直高度 $y / m$	$2.48$	$2.72$	$2.8$	$2.72$	$1.82$	$1.52$

$①$ 根据上述数据，求这些数据满足的函数关系 $y = a (x - h) ² + k (a < 0)$ ；
$②$ 判断该运动员第一次发球能否过网 ▲ $($ 填“能”或“不能” $)$ ．

(2)、该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度

y (

单位：

m)

与水平距离

x (

单位：

m)

近似满足函数关系

y = - 0.02 {(x - 4)}^{2} + 2.88

，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．

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26. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 4 x + 3 a$ 的对称轴为直线 $x = n$ ．

(1)、若抛物线经过点 $(1 ， 0)$ ，求 $a$ 和 $n$ 的值；

(2)、若抛物线上存在两点 $A (x_{1} ， m)$ 和 $B (x_{2} ， m + 1)$ ， $x_{1} = n$ ．
$①$ 判断抛物线的开口方向；并说明理由；
$②$ 若 $| x_{2} - x_{1} | \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

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27. 如图， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $B A$ 延长线上一点，连接 $D C$ ，点 $E$ 和点 $B$ 关于直线 $D C$ 对称，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $E C$ ， $E D$ ， $D F$ ．

(1)、依题意补全图形，并求 $∠ D E C$ 的度数；

(2)、用等式表示线段 $E C$ ， $E D$ 和 $C F$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，有图形 $W$ 和点 $P$ ，我们规定：若图形 $W$ 上存在点 $M$ 、 $N ($ 点 $M$ 和 $N$ 可以重合 $)$ ，满足 $P M = P N$ ，其中点 $P'$ 是点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点，则称点 $P$ 是图形 $W$ 的“对称平衡点”．

(1)、如图 $1$ 所示，已知，点 $A (0 ， 2)$ ，点 $B (3 ， 2)$ ．
$①$ 在点 $P_{1} (0 ， 1)$ ， $P_{2} (1 ， - 1)$ ， $P_{3} (4 ， 1)$ 中，是线段 $A B$ 的“对称平衡点”的是 ▲ ；
$②$ 线段 $A B$ 上是否存在线段 $A B$ 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由．

(2)、如图 $2$ ，以点 $A (0 ， 2)$ 为圆心， $1$ 为半径作 $⊙ A .$ 坐标系内的点 $C$ 满足 $A C = 2$ ，再以点 $C$ 为圆心， $1$ 为半径作 $⊙ C$ ，若 $⊙ C$ 上存在 $⊙ A$ 的“对称平衡点”，直接写出 $C$ 点纵坐标 $y_{c}$ 的取值范围．

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