天津市河西区2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-27 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算 $(- 1) + (- 4)$ 的结果等于（）

A、 $5$ B、 $3$ C、 $- 5$ D、 $- 8$

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2. $s i n 45 °$ 的值等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形 $.$ 下面 $4$ 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 预计到 $2025$ 年，中国 $5 G$ 用户将超过 $460000000$ ，将数据 $460000000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $4.6 \times 1 0^{9}$ B、 $4.6 \times 1 0^{8}$ C、 $46 \times 1 0^{7}$ D、 $0.46 \times 1 0^{9}$

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5. 如图，由 $6$ 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 化简 $\frac{a}{(a + 1)^{2}} + \frac{1}{(a + 1)^{2}}$ 的结果为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{a}$ C、 $\frac{a}{a + 1}$ D、 $\frac{1}{a + 1}$

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7. 请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可以得到一个你熟悉的公式，这个公式是（）

A、 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$
B、 $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$
C、 $(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$
D、 $(x + y)^{2} = x^{2} + x y + y^{2}$

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8. 若点 $A (- 1 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ ， $C (3 ， y_{3})$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$

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9. 抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 与 $x$ 轴的交点坐标为（）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(2 ， 0)$
C、 $(1 ， 0)$ 和 $(3 ， 0)$ D、 $(- 1 ， 0)$ 和 $(- 3 ， 0)$

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10. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到 $900$ 里远的城市，所需时间比规定时间多 $1$ 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 $3$ 天．已知快马的速度是慢马的 $2$ 倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（）

A、 $2 \times \frac{900}{x - 1} = \frac{900}{x + 3}$ B、 $2 \times \frac{900}{x + 1} = \frac{900}{x - 3}$ C、 $\frac{900}{x - 1} = 2 \times \frac{900}{x + 3}$ D、 $\frac{900}{x + 1} = 2 \times \frac{900}{x - 3}$

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11. 如图，已知 $△ A B E$ ， $∠ A B E = 120 °$ ，将 $△ A B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ C B D$ ，连接 $A C$ ， $E D$ ， $A E$ 和 $C D$ 交于点 $P .$ 则下列结论中正确的是（）

A、 $∠ A P C = 30 °$
B、 $A C$ 与 $B E$ 不一定平行
C、 $△ B D E$ 可以看作是 $△ A B C$ 平移而成的
D、 $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 都是等边三角形

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12. 如果用定长为 $L$ 的线段围成一个扇形，且使得这个扇形的面积最大，方法应为（）

A、使扇形所在圆的半径等于 $\frac{L}{4}$ B、使扇形所在圆的半径等于 $\frac{L}{3}$ C、使扇形的圆心角为 $60 °$ D、使扇形的圆心角为 $90 °$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. $a^{3} \cdot a^{2} =$ ．

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14. 计算 $(\sqrt{7} - \sqrt{11}) (\sqrt{7} + \sqrt{11})$ 的结果等于．

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15. 在一个不透明的袋子中装有 $5$ 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 $2$ 个，黄球 $1$ 个，红球 $2$ 个，摸出一个球，则摸到红球的概率是．

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16. 将直线 $y = 2 x$ 向左平移，请你任意写出一个平移后的解析式．

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17. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ， $E$ 是边 $A D$ 的中点，连接 $B E$ ，在 $D C$ 边上有一点 $F$ ，满足 $∠ F E B = ∠ A E B$ ，则 $E F$ 的长为．

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18. 如图，在每个小正方形的边长为 $1$ 的网格中， $△ A B C$ 的顶点 $A$ ， $C$ 均落在格点上，点 $B$ 在网格线上，且 $A B = \frac{5}{3}$ ．

(1)、线段 $B C$ 的长等于；

(2)、以 $B C$ 为直径的半圆与边 $A C$ 相交于点 $D$ ，若在 $\overset{⏜}{C D}$ 上有一点 $P$ ，使其满足 $∠ P C D = ∠ B C D$ ，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $P$ ，并简要说明点 $P$ 的位置是如何找到的 $. ($ 不要求证明 $)$

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三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 \geq - 4 ① \\ 2 x + 1 \leq 3 ② \end{array}$ ，请结合题意填空，完成本题的解答．
⑴解不等式 $①$ ，得     ▲   ；
⑵解不等式 $②$ ，得     ▲  ；
⑶把不等式 $①$ 和 $②$ 的解集在数轴上表示出来；
⑷原不等式组的解集为     ▲   ．

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20. 为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出了统计图 $①$ 和图 $② .$ 请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次抽取测试的男生人数为，图 $①$ 中 $m$ 的值为；

(2)、求本次抽取测试的这组数据的平均数、众数和中位数．

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21. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以边 $A B$ 上一点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径的圆与 $B C$ 相切于点 $D$ ，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $E$ ， $F$ ．

(1)、如图 $①$ ，连接 $A D$ ，若 $∠ C A D = 26 °$ ，求 $∠ B$ 的大小；

(2)、如图 $②$ ，若点 $F$ 为 $\overset{⏜}{A D}$ 的中点， $⊙ O$ 的半径为 $3$ ，求 $A B$ 的长．

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22.
如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．

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23. 天津农业大学的大学生参加助农活动，帮助果农销售砂糖桔

.

砂糖桔的销售分为线上和线下两种销售方式，具体费用标准如下：线下销售方式：

4

元

/

千克：线上销售方式：质量不超过

10

千克时，每千克

6

元，质量超过

10

千克时，超出部分每千克按五折出售

.

设购买砂糖桔

x

千克，所需费用为

y

元，可知两种销售方式的

y

与

x

之间的函数关系大致如图所示．

(1)、根据题意，填写表格：

购买砂糖枯 $/$ 千克	$5$	$10$	$12$	$\dots$
用线下销售方式购买所需费用 $/$ 元	▲	$40$	▲	$\dots$
用线上销售方式购买所需费用 $/$ 元	▲	$60$	▲	$\dots$

(2)、请直接写出这两种销售方式对应的函数表达式；

(3)、请问如何选择购买方式更省钱？为什么？

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24. 平面直角坐标系中，正方形 $O A B C$ 的点 $A$ 在 $y$ 轴上，点 $C$ 在 $x$ 轴上，点 $B (4 ， 4)$ ，另有一动点 $E$ ，连接 $A E$ ．

(1)、如图，当点 $E$ 在 $B C$ 边上时，将 $△ A B E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A O F$ ，连接 $E F$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ．
$①$ 若点 $E$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ ，求线段 $E F$ 的长；
$②$ 设点 $E (4 ， m)$ ， $S = S_{△ A B E} + S_{△ F C E}$ ，试用含 $m$ 的式子表示 $S$ ；

(2)、当点 $E$ 满足 $A E = O A$ ， $($ 点 $E$ 不与点 $O$ 重合 $)$ ，连接 $O E .$ 现在以 $O$ 为中心，将 $O E$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到 $O P$ ，求当 $A P$ 取得最大值时点 $E$ 的坐标．

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25. 在平面直角坐标系中，点 $O (0 ， 0)$ ， $A (- 3 ， 0)$ ， $B (3 ， 0) .$ 已知抛物线 $y = a x^{2} - 5 a x + 4 (a$ 为常数， $a \neq 0)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ， $P$ 为顶点．

(1)、当抛物线过点 $A$ 时，求该抛物线的顶点 $P$ 的坐标；

(2)、若点 $P$ 在 $x$ 轴上方，当 $∠ P O B = 45 °$ 时，求 $a$ 的值；

(3)、在 $(1)$ 的情况下，连接 $A C$ ， $B C$ ，点 $E$ ，点 $F$ 分别是线段 $C O$ ， $B C$ 上的动点，且 $C E = B F$ ，连接 $A E$ ， $A F$ ，求 $A E + A F$ 的最小值，并求此时点 $E$ 和点 $F$ 的坐标．

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