天津市南开区2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-27 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算 $(- 3) - (- 5)$ 的结果是（）

A、 $- 8$ B、 $- 2$ C、 $8$ D、 $2$

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2. 下列三角函数中，结果为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $c o s 30 °$ B、 $t a n 30 °$ C、 $s i n 60 °$ D、 $c o s 60 °$

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3. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 将数字 $192000000$ 用科学记数法可表示为（）

A、 $19.2 \times 1 0^{7}$ B、 $19.2 \times 1 0^{8}$ C、 $1.92 \times 1 0^{8}$ D、 $1.92 \times 1 0^{9}$

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5. 如图是由若干个小正方体堆成的几何体的主视图（正视图），这个几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 估计 $\sqrt{37}$ 的值在（）

A、 $3$ 和 $4$ 之间 B、 $4$ 和 $5$ 之间 C、 $5$ 和 $6$ 之间 D、 $6$ 和 $7$ 之间

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7. 化简 $\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x}$ 的结果为（）

A、 $x$ B、 $1$ C、 $- x$ D、 $- 1$

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8. 点 $A (x_{1} ， - 6)$ ， $B (x_{2} ， - 2)$ ， $C (x_{3} ， 3)$ 都在反比例函数 $y = - \frac{12}{x}$ 的图象上，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ B、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$ C、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ D、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$

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9. 方程 $3 x^{2} - 5 x - 7 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，下列表示根与系数关系的等式中，正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 5$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = - 7$ B、 $x_{1} + x_{2} = - \frac{5}{3} ， x_{1} \cdot x_{2} = \frac{7}{3}$
C、 $x_{1} + x_{2} = \frac{5}{3} ， x_{1} \cdot x_{2} = \frac{7}{3}$ D、 $x_{1} + x_{2} = \frac{5}{3} ， x_{1} \cdot x_{2} = - \frac{7}{3}$

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10. 如图，▱ $A B C D$ 的顶点坐标分别为 $A (1 ， 4)$ 、 $B (1 ， 1)$ 、 $C (5 ， 2)$ ，则点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(5 ， 5)$
B、 $(5 ， 6)$
C、 $(6 ， 6)$
D、 $(5 ， 4)$

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11. 对折矩形 $A B C D$ ，使 $A D$ 和 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $E F$ 上的 $N$ 点处，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $B M$ ，同时得到线段 $B N .$ 则下列结论错误的是（）

A、 $A E = \frac{1}{2} B N$ B、 $M N = \frac{1}{2} B N$ C、 $∠ A B M = ∠ N B M$ D、 $∠ E N B = ∠ N B M$

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12. 如图所示是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的部分图象，其顶点坐标为 $(1 ， n)$ ，且与 $x$ 轴的一个交点在点 $(3 ， 0)$ 和 $(4 ， 0)$ 之间，则下列结论： $① a - b + c > 0$ ； $② 3 a + c > 0$ ； $③ b^{2} = 4 a (c - n)$ ； $④$ 一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = n - 2$ 没有实数根 $.$ 其中正确的结论个数是（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 计算 $a \cdot a^{2} - 2 a^{3} =$ ．

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14. 计算： $(\sqrt{6} + \sqrt{11}) (\sqrt{6} - \sqrt{11})$ 的结果等于．

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15. 有 $6$ 张背面完全相同的卡片，正面分别标有 $0$ ， $1$ ， $- 1$ ， $2$ ， $- 2$ ， $3$ ，把这 $6$ 张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张，卡片上的数是负数的概率为．

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16. 直线 $y = 2 x + b$ 与 $y$ 轴交于正半轴，则 $b$ 的值可以是．

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17. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A B = O B$ ，点 $E$ ，点 $F$ 分别是 $O A$ ， $O D$ 的中点，连接 $E F$ ， $∠ C E F = 45 °$ ， $E M ⊥ B C$ 于点 $M$ ， $E M$ 交 $B D$ 于点 $N$ ， $F N = 4 \sqrt{5}$ ，则线段 $B C$ 的长为．

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18. 如图，在每个小正方形的边长为 $1$ 的网格中，圆上的点 $A$ ， $B$ ， $C$ 及点 $D$ 均在格点上．

(1)、 $∠ A B C$ 的大小为 $($ 度 $)$ ；

(2)、 $P$ 为 $C D$ 上一点，连接 $A P$ ，将 $A P$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $M N .$ 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出线段 $M N$ ，并简要说明点 $M$ ， $N$ 的位置是如何找到的 $($ 不要求证明 $)$ ．

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三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x - 2) \leq x - 4 ① \\ 4 x + 1 \geq 2 x - 5 ② \end{array}$ ，请按下列步骤完成解答：
⑴解不等式 $①$ ，得     ▲  ；
⑵解不等式 $②$ ，得    ▲  ；
⑶把不等式 $①$ 和 $②$ 的解集在数轴上表示出来；
⑷原不等式组的解集为    ▲  ．

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20. 某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)、本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中的m的值为；

(2)、求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；

(3)、若该校八年级学生有1200人，估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数．

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21. 已知 $⊙ O$ 中，直径 $A C$ 长为 $12$ ， $M A$ 、 $M B$ 分别切 $⊙ O$ 于点 $A$ ， $B$ ，弦 $A D / / B M$ ．

(1)、如图 $1$ ，若 $∠ A M B = 120 °$ ，求 $∠ C$ 的大小和弦 $C D$ 的长；

(2)、如图 $2$ ，过点 $C$ 的切线分别与 $A D$ 、 $M B$ 的延长线交于点 $E$ ， $F$ ，且 $C E = \frac{5}{4} E F$ ，求弦 $C D$ 的长．

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22. 如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在河北岸 $C$ 处测得对岸 $A$ 处一棵树位于南偏西 $50 °$ 方向， $B$ 处一棵树位于南偏东 $57 °$ 方向，已知两树 $A$ 、 $B$ 相距 $46 m$ ，求此段河面的宽度 $. ($ 结果取整数，参考数据： $s i n 50 ° \approx 0.766$ ， $c o s 50 ° \approx 0.643$ ， $t a n 50 ° \approx 1.192$ ， $s i n 57 ° \approx 0.8399$ ， $c o s 57 ° \approx 0.545$ ， $t a n 57 ° \approx 1.540)$

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23. 某实验室对甲、乙两机器人进行装卸货物测试，在实验场地的一条直线上依次设置货物装卸点 $A$ ， $B$ ， $C$ 三地，甲、乙两机器人同时从 $A$ 地匀速出发，甲机器人到达 $C$ 地后装货 $1$ 分钟，再以原速原路返回 $A$ 地，乙机器人到达 $B$ 地后装货 $1$ 分钟，再以原速前往 $C$ 地，结果甲、乙两机器人同时到达各自目的地，在两机器人行驶的过程中，甲、乙两机器人距 $A$ 地的距离 $y ($ 单位：米 $)$ 与甲机器人所用时间 $x ($ 单位：分 $)$ 之间的函数图象如图所示：请结合图象信息解答下列问题：

(1)、填空：
$① A$ 、 $C$ 两地之间的距离为米；
$②$ 甲机器人从出发到返回 $A$ 地，共用时分钟；
$③$ 甲机器人的速度为米 $/$ 分；
$④$ 乙机器人的速度为米 $/$ 分；
$⑤$ 两机器人在第分时相距 $120$ 米；

(2)、写出乙机器人行驶的全过程中 $y$ 与 $x$ 的函数关系式．

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24. 四边形 $O A B C$ 在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 8 ， 4)$ ， $B$ 、 $C$ 两点分别在 $y$ 轴、 $x$ 轴正半轴上，且 $A B = B C = O A$ ．

(1)、如图 $1$ ，求点 $B$ 和点 $C$ 的坐标；

(2)、如图 $2$ ，点 $P$ 为线段 $B C$ 上一点 $($ 不包括 $B$ 、 $C)$ ，把线段 $P B$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $P D$ ．
$①$ 连接 $O D$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ， $△ B O D$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $m$ 的函数关系式，并直接写出自变量 $m$ 的取值范围；
$②$ 如图 $3$ ，连接 $A P$ ，点 $E$ 在 $A P$ 的延长线上，且 $∠ D P E = 2 ∠ D B E$ ，若点 $P$ 的横坐标等于 $3$ ，请直接写出四边形 $B P E D$ 的面积以及 $E$ 点的坐标．

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 是常数 $)$ 的开口向上且经过点 $A (0 ， 1)$ ， $B (2 ， - 1)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求抛物线的顶点坐标；

(2)、若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在 $1 \leq x \leq 3$ 时， $y$ 的最大值为 $2$ ，求 $a$ 的值；

(3)、若射线 $B A$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c + 3 a - 1$ 仅有一个公共点，求 $a$ 的取值范围．

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