天津市红桥区2023年中考一模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-27 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算 $(- 2) \times (- 3)$ 的结果等于（）

A、 $- 5$ B、 $5$ C、 $- 6$ D、 $6$

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2. $2 c o s 60 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 将 $468000000$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $0.468 \times 1 0^{9}$ B、 $4.68 \times 1 0^{8}$ C、 $46.8 \times 1 0^{7}$ D、 $468 \times 1 0^{6}$

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5. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 估计 $\sqrt{15}$ 的值在（）

A、2和3之间 B、3和4之间 C、4和5之间 D、5和6之间

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7. 方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 4 \\ x + 2 y = 3 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 4 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = - 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \end{array}$

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8. 若点 $A (- 4 ， y_{1})$ ， $B (- 2 ， y_{2})$ ， $C (1 ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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9. 计算 $\frac{y}{x - y} - \frac{x}{x - y}$ 的结果是（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $y - x$ D、 $\frac{1}{x - y}$

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10. 如图，四边形 $O A C B$ 是矩形，A ， B两点的坐标分别是 $(8 ， 0)$ ， $(0 ， 6)$ ，点C在第一象限，则点C的坐标为（）

A、 $(6 ， 0)$ B、 $(0 ， 8)$ C、 $(6 ， 8)$ D、 $(8 ， 6)$

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到 $△ D B E$ ，点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为 $D$ ， $E .$ 当 $E D$ 的延长线经过点 $C$ 时，则下列结论一定正确的是（）

A、 $∠ A C B = ∠ D B E$ B、 $A C = B D$ C、 $∠ C B D = ∠ E B D$ D、 $C E = B E$

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12. 开口向下的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 为常数， $a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1 .$ 有下列结论： $① a b c > 0$ ； $②$ 函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的最大值为 $- 4 a$ ； $③$ 若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = a + 1$ 无实数根，则 $- \frac{1}{5} < a < 0 .$ 其中，正确结论的个数是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 计算 $x^{6} \div x^{3}$ 的结果等于．

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14. 计算 $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ 的结果等于．

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15. 不透明袋子中装有 $9$ 个球，其中有 $5$ 个红球和 $4$ 个蓝球，这些球除颜色外无其他差别 $.$ 从袋子中随机取出 $1$ 个球，则它是蓝球的概率是．

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16. 若一次函数 $y = 2 x + b - 1 (b$ 是常数 $)$ 的图象经过第一、二、三象限，则 $b$ 的取值范围是．

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17. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $8$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为 $B E$ 上一点，且 $E F = 3 F B$ ，若 $G$ ， $H$ 分别为 $B E$ ， $C F$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的长为．

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18. 如图，在每个小正方形的边长为 $1$ 的网格中， $△ A B C$ 的顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在格点上， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆．

(1)、线段 $A C$ 的长等于；

(2)、 $⊙ O$ 的半径的长等于；

(3)、 $P$ 是 $⊙ O$ 上的动点，当 $P B + \frac{4}{5} P C$ 取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $P$ ，并简要说明点 $P$ 的位置是如何找到的 $($ 不要求证明 $)$ ．

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三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 \geq - 3 ， ① \\ 3 x + 1 \leq 4 . ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答．
⑴解不等式 $①$ ，得     ▲  ；
⑵解不等式 $②$ ，得     ▲   ；
⑶把不等式 $①$ 和 $②$ 的解集在数轴上表示出来：

⑷原不等式组的解集为     ▲   ．

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20. 某校在一次体育测试中，随机抽取了部分男生每人完成引体向上的次数 $.$ 根据统计的结果，绘制出如下的统计图 $①$ 和图 $②$ ．

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次接受随机抽样调查的男生人数为，图 $①$ 中 $m$ 的值为；

(2)、求统计的这组次数数据的平均数、众数和中位数．

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21. 在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径，过 $⊙ O$ 上一点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线，与 $B A$ 的延长线交于点 $P$ ，连接 $B C$ ．

(1)、如图 $①$ ，若 $∠ P = 40 °$ ，求 $∠ P B C$ 的大小；

(2)、如图 $②$ ，过点 $B$ 作 $P C$ 的垂线，垂足为 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $C E$ ，若 $A B = 4$ ， $C E / / P B$ ，求 $D E$ 的长．

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22. 小琪要测量某建筑物的高度 $.$ 如图，小琪在点 $A$ 处测得该建筑物的最高点 $C$ 的仰角为 $31 °$ ，再往该建筑物方向前进 $30 m$ 至点 $B$ 处测得最高点 $C$ 的仰角为 $45 ° .$ 根据测得的数据，计算该建筑物的高度 $C D ($ 结果取整数 $)$ ．参考数据： $s i n 31 ° \approx 0.52$ ， $c o s 31 ° \approx 0.86$ ， $t a n 31 ° \approx 0.60$ ．

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23. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上

.

小明从家出发，匀速骑行

0.5 h

到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行

0.4 h

到达图书馆；在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中，给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离

y k m

与离开家的时间

x h

之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、填表：

小明离开家的时间 $/ h$	$0.1$	$0.3$	$1.5$	$2.2$	$3.3$
小明离开家的距离 $/ k m 1.2$	$1.2$	▲	$6$	▲	▲

(2)、填空：

①

体育馆与图书馆之间的距离为 ▲

k m

；

②

小明从体育馆到图书馆的步行速度为 ▲

k m / h

；

③

当小明离开家的距离为

4 k m

时，他离开家的时间为 ▲

h .

(3)、当

2 \leq x \leq 4

时，请直接写出

y

关于

x

的函数解析式．

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24. 将一个矩形纸片 $O A B C$ 放置在平面直角坐标系中，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (4 ， 0)$ ，点 $C (0 ， \sqrt{3})$ ，点 $P$ 在边 $O A$ 上 $($ 点 $P$ 不与点 $O$ ， $A$ 重合 $)$ ，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 $P$ ，并与 $y$ 轴的正半轴相交于点 $Q$ ，且 $∠ O Q P = 30 °$ ，点 $O$ 的对应点 $O'$ 落在第一象限 $.$ 设 $O P = t$ ．

(1)、如图 $①$ ，当 $t = \frac{2}{3}$ 时，求 $∠ O' P A$ 的大小和点 $O'$ 的坐标；

(2)、如图 $②$ ，若折叠后重合部分为四边形，点 $C$ 的对应点为 $C'$ ，且 $O'$ 在直线 $B C$ 的下方， $O' C'$ ， $P Q$ 分别与边 $B C$ 相交于点 $D$ ， $E$ ，试用含有 $t$ 的式子表示重合部分的面积 $S$ ，并直接写出 $t$ 的取值范围；

(3)、若折叠后重合部分的面积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{8}$ ，求 $t$ 的值 $($ 直接写出结果即可 $)$ ．

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25. 抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a ， b$ 为常数， $a \neq 0)$ 交 $x$ 轴于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、点 $C (0 ， 4)$ ， $D$ 是线段 $A C$ 上的动点 $($ 点 $D$ 不与点 $A$ ， $C$ 重合 $)$ ．
$①$ 点 $D$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D'$ ，当点 $D'$ 在该抛物线上时，求点 $D$ 的坐标；
$② E$ 是线段 $A B$ 上的动点 $($ 点 $E$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合 $)$ ，且 $C D = A E$ ，连接 $C E$ ， $B D$ ，当 $C E + B D$ 取得最小值时，求点 $D$ 的坐标．

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